专题07 三角形全等的重要模型-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试好题汇编（北师大版）

专题07 三角形全等的重要模型 ( 考向一、倍长中线模型 考向二、旋转模型 考向三、垂线模型 考向四、 平移全 等模型 考向五、 半角全 等模型 ) 考向一、倍长中线模型 1．（2020·河南焦作·七年级期末）已知AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AD＝2，则AC的长可以是（     ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】 【详解】 延长AD至E，使AD=DE，连接BE、CE， ， ∴AE=4， ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD=DC， 又∠ADC=∠EDB， ∴△ACD≌△EDB， ∴BE=AC， ∴在△ABE中：， 即 ∴ 故选A． 【点睛】 三角形任意两边之和大于第三边． 2．（2020·四川成都·七年级期末）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____． 【答案】2或4 【解析】 【分析】 延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解． 【详解】 解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝6， 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， ∵AD为偶数， ∴AD＝2或4， 故答案为2或4． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可． 3．（2021·陕西汉中·七年级期末）如图，在中，是边上的中线，过作的平行线交的延长线于点．若，，试求的取值范围． 【答案】4＜AE＜8 【解析】 【分析】 证明△ABD≌△ECD（AAS），得到AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 考向二、旋转模型 1．（2021·山西临汾·七年级期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数． 【答案】∠ADC＝65° 【解析】 【分析】 根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】 解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC＝180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°， ∴∠ADC＝∠E+20°， ∵∠ACE＝90°，AC＝CE ∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°， 即45°+70°+∠ADC＝180°， 解得：∠ADC＝65°， 【点睛】 此题主要考查旋转综合题，解题的关键熟知旋转的性质. 2．（2021·河北沧州市·八年级期末）如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ） A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对 【答案】A 【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，则可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN． 【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，∴∠BAC＝∠EAD， 在△BAC和△EAD中，,∴△BAC≌△EAD，∴甲说的正确； ∵△BAC≌△EAD（AAS），∴AB=AE， 在△BAM和△EAN中，,∴△BAM≌△EAN（ASA），∴乙说的正确；故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键． 3．（2020·山东东营·七年级期末）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】（1）①见解析；②见解