专题11.7 三角形的内角（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.7 三角形的内角（知识讲解） 【学习目标】 1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和； 2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系； 3．能够运用三角形内角和定理进行相关角的计算及相关证明问题. 【知识点梳理】 【知识点一】三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【知识点二】直角三角形两锐角和：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．完成下面的证明已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，DF//CA． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：∵DE//BA， ∴∠3＝　　（ 　     　）， ∠2＝　　（ 　     　）． ∵DF//CA， ∴∠1＝　　（ 　     　）， ∠BFD＝　　（ 　     　）． ∴∠2＝　　（ 　     　）． ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）． 【答案】∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换 【分析】先根据平行线的性质得出∠A=∠2，∠1=∠C，∠3=∠B，再由平角的定义即可得出结论． 解：∵DE//B ∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠BFD（两直线平行，内错角相等）， ∵DF//CA， ∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠A（等量代换）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）． 故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 举一反三： 【变式1】 在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE // BC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明． 已知： 求证： 证明：过点A作直线DE // BC． 【答案】已知：如图，；求证：；证明见分析． 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可证明． 解：如图，． 求证：． 证明：如图，过点A作直线DE // BC． ∵DE // BC， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴． 即三角形内角和为． 【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义．掌握两直线平行，内错角相等是解题关键． 【变式2】 在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性． 小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路： ①画出命题对应的几何图形； ②写出已知，求证； ③受拼接方法的启发画出辅助线； ④写出证明过程． 请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程． 【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可． 解：△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC． ∵BE∥AC， ∴∠1=∠4，∠5=∠3， ∵∠2+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°， 即∠A+∠ABC+∠C=180°． 【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 类型二、与平行线有关的内角和问题 2.如图，已知，且． (1)求证：，请完成下面的证明： ∵，， ∴ ∴（___________________）， ∴___________________（______