第08讲 圆心角与圆周角（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第08讲 圆心角与圆周角（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 二．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 三．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 【核心考点精讲】 一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题） 1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（　　） A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定 【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：取的中点E，连接AE，BE， 则＝， ∵＝2， ∴＝＝， ∴CD＝AE＝BE， ∵AE+BE＞AB， ∴AB＜2CD． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键． 2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是　30或150　度． 【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°． 【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠ADB＝150°． 故弦AB所对的圆周角是 30或150度． 故答案为：30或150． 【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系． 3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝CD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， 即＝， ∴∠A＝∠B， ∴AD∥BC． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF． 【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵＝2， ∴∠COE＝2∠AOE， ∴∠COE＝60°， 而OE＝OC， ∴△OCE为等边三角形， ∵DE∥AB，OC⊥AB， ∴DE⊥OC，