第09讲 圆内接四边形与正多边形（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第09讲 圆内接四边形与正多边形（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 二．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【核心考点精讲】 一．圆内接四边形的性质（共6小题） 1．（2022•澄城县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【分析】连接OD，如图，根据线段垂直平分线的性质得到DO＝DC，则可判断△ODC为等边三角形，所以∠COD＝60°，再根据圆周角定理得到∠CBD＝30°，然后利用圆内接四边形的性质计算∠ADC的度数． 【解答】解：连接OD，如图， ∵BD垂直平分半径OC， ∴DO＝DC， ∵OD＝OC， ∴OD＝OC＝DC， ∴△ODC为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠CBD＝∠COD＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°+30°＝75°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理． 2．（2021秋•金东区期末）在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 　110°　． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D+∠B＝180°，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， 则， 解得：， 故答案为：110°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、二元一次方程组的解法，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（2022•定海区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD． （1）求证：AB＝CD． （2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数． 【分析】（1）根据圆周角定理得到＝，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论； （2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答． 【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴＝， ∵OC⊥BD， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝CD； （2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°， ∵＝， ∴BC＝CD， ∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝33°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　） A．80° B．120° C．135° D．140° 【分析】设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5， ∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°， ∴∠B＝3x＝60°， ∴∠D＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 5．（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，根据∠D﹣∠B＝40°求出∠D＝110°，∠B＝70°，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D﹣∠B＝40°，