第07讲 垂径定理（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第07讲 垂径定理（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 二．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【核心考点精讲】 一．垂径定理（共5小题） 1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．6 D．6 【分析】连接OA、AC，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得到AD＝DB＝6，在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r）2+62＝r2，然后解方程即可． 【解答】解：连接OA、AC，如图，设⊙O的半径为r， ∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝×12＝6， 在Rt△OAD中，∵OD＝CD＝r，OA＝r，AD＝6， ∴（r）2+62＝r2， 解得r1＝4，r2＝﹣4（舍去）， ∴⊙O的半径为4． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 2．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（　　） A．8 B．4 C．2 D．2 【分析】先过点O作OM⊥CD，连接OC，根据垂径定理得出CD＝2CM，再根据AE＝6，EB＝2，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA＝30°，求出OM＝OE＝×2＝1，根据CM＝，求出CM，最后根据CD＝2CM即可得出答案． 【解答】解：过点O作OM⊥CD，连接OC， 则CD＝2CM， ∵AE＝6，EB＝2， ∴AB＝8， ∴OC＝OB＝4， ∴OE＝4﹣2＝2， ∵∠CEA＝30°， ∴OM＝OE＝×2＝1， ∴CM＝＝＝， ∴CD＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了垂径定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 3．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（　　） A． B．3 C． D． 【分析】过O点作OH⊥AB交AD于H，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，再利用勾股定理计算出CE＝4，则CD＝8，由于OH∥DE，利用平行线分线段成比例定理可计算出OH＝，然后由OH∥CD，利用平行线分线段成比例定理得到＝，从而利用比例性质可求出OF的长． 【解答】解：过O点作OH⊥AB交AD于H，如图， ∵AB＝10， ∴AO＝BO＝CO＝5， ∵BE＝2， ∴OE＝3， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， 在Rt△OCE中，CE＝＝4， ∴CD＝2CE＝8， ∵OH∥DE， ∴＝，即＝， 解得OH＝， ∵OH∥CD， ∴＝，即＝， 解得OF＝， 即OF的长度是． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了相似三角形的判定与性质． 4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标． 【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH ∵A（0，﹣2），B（0，4）， ∴AB＝6， ∴BH＝3， ∴OH＝1， 在Rt△BHE中，EH＝＝＝4， ∵四边形EHOF为矩形， ∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4， 在Rt△OEF中，FD＝＝＝2， ∴OD＝FD﹣OF＝2﹣4， ∴D（2﹣4，0）． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了坐标与图形性质． 5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙�O的直径AB＝5，弦AC＝3，