6.3 6.4 6.5 数学建模案例(一)：最佳视角 数学建模案例(二)：曼哈顿距离 数学建模案例(三)：人数估计（课件）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

6．3　数学建模案例(一)：最佳视角 6．4　数学建模案例(二)：曼哈顿距离 6．5　数学建模案例(三)：人数估计 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 我们常见的数学模型有哪些？　　 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 我们生活在一个数字时代，身边存在着各种各样的数据，如空气质量指数、房价问题、就业情况、产品合格率等问题．针对我们关心的问题，选择具有代表性的调查对象，采取更合理的方式收集相关数据，建立模型、分析数据(用统计图、数字特征、相关关系等)、合理预测、科学决策． 数学建模在统计中的应用，根据建模的一般步骤，除提出问题外，主要有两大步骤：一是数据收集(建模涉及的数据)，二是数据分析(建模与求解)． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (一)数据收集 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (二)数据分析 数据分析的方法 (1)用适当的统计图(表)表示出来，从中获取更多信息． (2)从不同角度分析数据． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型一　角度的测量 [例1]　(1)若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上 C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上 B 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)如图所示，∠ACB＝90°. 又因为AC＝BC， 所以∠CBA＝45°. 因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A在点B的北偏西15°方向上． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10 n mile的C处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？ [答案]　 (2)见解析 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离． (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？ 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型二　距离问题 [例2]　如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [解析]　 法一 (1)如图①，过A作AE⊥BD，垂足为E.   ① 由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8. 因为PB⊥AB， 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [解析] (3)先讨论点P的位置． 当∠OBP＜90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求． 当∠OBP＝90°时，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15， 数学 必修 第二册 返回导航