21.2.1 一元二次方程的解法（一）直接开平方法（课件）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

一元二次方程的解法（一） --直接开平方法 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点） 2 1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. a(a≥0)的平方根记作：± . x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝±. 2.完全平方式： a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2 3.练一练： 若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______. a+b -ab+b2 ±4 (x-3)2 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500 ① 整理，得 x2=25 根据平方根的意义，得 即x1=5，x2=－5. 可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. x=±5 (1)x2=6 (2)x2=0 (3)x2+4=0 解:根据平方根的意义，得x1=, x2=-. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-4, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根： (3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程x2=p, (I) (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根: 【定义】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例1.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 9x2=8， 直接开平方，得 x=±， ∴x1=, x2=－. (1) 2x2-8=0 (2) 9x2-5=3 2x2=8， x2=4， x=±2， ∴x1=2,x2=－2. 解： x2=， 对照前面解方程10×6x2=1500 ①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？ 在解方程①时，由方程x2=25得x=±5. 由此想到： 由方程 (x+3)2=5， ② 得 x+3=± 即 x+3= ，或 x+3=-. ③ 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 x1=-3+ ，x2=-3- . 【点睛】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 对照前面解方程10×6x2=1500 ①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？ 由方程 9x2-12x+4=3 化成 (3x-2)2=3 得 3x-2=± 即 3x-2= ，或3x-2=- . 于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为= ，=. 例2.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 3(x-1)2=6， 直接开平方，得 x-1=±， ∴x1=+1, x2=－+1. (1) (x+6)2-9=0 (2) 3(x-1)2-6=0 (x+6)2=9， x+6=±3， ∴x1=-3,x2=－9. 解： 即 x+6=3或x+6=-3 (x-1)2=2， 即 x-1=或x-1=- 【点睛】由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n= 或mx+n=- . 例3.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 (x+3)2=5， 直接开平方，得 x+3=±， ∴x1=-3, x2=－-3. (2x+1)2=0， 2x+1=0， ∴x1=x2=－. 解： 即 x+3=或x+3=- 例4.利用直接开平方法解下列方程: (1)(x-2)2=(2x+3)2 (2) 4(3x-1)2-9(3x+1)2=O 解: x-2=2x+3或x-2=-2x-3 -x=5或3x=-1 ∴x1=-5，x2=- 解:4(3x-1)2=9(3x+1)2 2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)=-3(3x+1) 6x-2=9x+3或6x-2=-9x-3 -3x=5或15x=-1 ∴x1=-，x2=- ★知识点一 直接开平方法 方程 x2=p(p≥0)的解为x1= ，x2=- . 由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n= 或mx+n=- . ★知识点二 降次思想 一元二次