第05练 幂函数与函数的应用（一）-2022年高一数学暑假能力提升作业+新学期知识初探（人教A版2019）

第5练 幂函数与函数的应用（一） 一、单选题 1．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知点（a，2）在幂函数的图象上，则函数f（x）的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由幂函数的定义解出a，再把点代入解出b. 【详解】 ∵函数是幂函数，∴，即， ∴点（4，2）在幂函数的图象上，∴，故． 故选：A. 2．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（       ） A．－1 B．－1或3 C．3 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案. 【详解】 由题意知：，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递减，不合题意; 当时，，则在上单调递增，符合题意, ∴, 故选：C 3．（2022·湖南·高一课时练习）向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案． 【详解】 解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件； 由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓， ∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A、C不满足条件，而B满足条件. 故选：B． 4．（2022·新疆阿勒泰·高一期末）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（       ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【解析】 根据题意求得和的值，然后计算出的值即可得解. 【详解】 由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，， 所以，得． 又由知，，所以当时，， 故选：C． 【点睛】 本题考查分段函数模型的应用，求出和的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 5．（2022·山东泰安·高一期末）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得． 6．（2022·河北张家口·高一期末）设，，，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系. 【详解】 ，； ，，，即，又，. 故选：C. 7．（2022·四川成都·高一开学考试）下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数，由，所以函数为奇函数， 根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意； 对于B中，函数，由，所以函数为偶函数， 不符合题意； 对于C中，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D中，函数在为单调递减函数，不符合题意. 故选：A. 8．（2022·四川凉山·高一期末）已知，若，则（       ） A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可. 【详解】 设，由 ， 当且时，即时，等式显然成立， 当时，则有，因为， 所以， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 综上所述：， 故选：A 【点睛】 关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键. 二、多选题 9．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知函数的图象经过点则（       ） A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案. 【详解】 将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确． 故选：CD. 10．（2022·