专题18 数列 单元综合检测-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题18 数列 单元综合检测 一、填空题 1．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差______. 2．已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ． 3．数列满足，且，则数列前10项的和为______. 4．已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 _______． 5．设数列的前项和为，且满足，则____． 6．记为等差数列的前n项和．若，则__________． 7．如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为_____cm2． 8．数列满足，前16项和为540，则 ______________. 9．若数列的前n项和，则的值为________. 10．已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________． 11．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________． 12．已知是首项为1，公比为2的等比数列，数列满足，且，若，则m的值为______． 二、单选题 13．已知递增等比数列满足，，则（       ） A． B． C． D． 14．假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则　　 A． B． C． D． 15．已知等差数列的前项和为，，(，且)，则的值为（       ） A． B． C． D． 16．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是 A． B． C． D． 三、解答题 17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 18．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 19．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 20．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，就淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆.设，分别为从今年起年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量. （1）求，，并求从今年起年里投入的所有新公交车的总数量； （2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求的最小值. 21．已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列. （1）证明：； （2）若，证明：数列是等比数列； （3）求和：. 22．已知数列的各项为正数，其前项和满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 23．对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7. (1)若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的； (2)设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：. (3)考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 数列 单元综合检测 一、填空题 1．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本元的思想列方程，由此求得的值. ∵，∴.又，∴或（舍去）. 故答案为： 2．已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值. 由题可得，，故有， 又因为，即，所以. 【点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 3．数列满足，且，则数列前10项的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用累加法求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公