第14讲 函数的单调性-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第14讲 函数的单调性 【学习目标】 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 【基础知识】 知识点一 函数的单调性 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I： 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增． 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减． 知识点二　增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数． 知识点三　单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点四 函数的最大值 (1)定义：一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： ①∀x∈I,都有f(x)≤M； ②∃x0∈I,使得f(x0)＝M. 那么,称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标． 知识点五　函数的最小值 (1)定义：一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： ①∀x∈I,都有f(x)≥M； ②∃x0∈I,使得f(x0)＝M. 那么,称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标． 知识点六 有关单调性的常用结论　记住这些结论有利于快速解题 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 【考点剖析】 考点一：判断函数的单调性 例1．（多选题）1．下列函数中，在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性即可判断. 【详解】 一次函数在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 二次函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 反比例函数在和上单调递减，故C错误； 二次函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误； 故选：AB. 考点二：求函数的单调区间 例2．函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】 画出函数的图象求解. 【详解】 函数的图象如图所示： 由图象知：其单调递增区间是， 故答案为： 考点三：利用函数的单调性求参数 例3．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 分类讨论，时根据二次函数的性质求解． 【详解】 时，满足题意； 时，，解得， 综上， 故答案为：． 考点四：利用单调性解不等式 例4．已知函数，则不等式的x的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的解析式或图象可得函数单调递增，不等式转化为，进而求解出结果. 【详解】 画出函数的图象如图所示： 所以函数在上为增函数， 由得，即，解得. 故答案为：. 考点五：复合函数的单调性 例5．函数的单调减区间为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】 由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解. 【详解】 解：函数的定义域为， 令，，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 故答案为：. 考点六：根据图像判断单调性 例6．已知函数的图象如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由图象可得出函数的单调递减区间，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 由图可知，的单调递减区间为、． 因为函数在上单调递减，则或， 由题意得或，即或． 故答案为：. 考点七：函数单调性的证明 例7．根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 利用单调性的定义，按照取值、作差、化简、定号、得结论的步骤，即可得证 【详解】 证明：，且， 则 == == ，，则， ，， ，即， 函数在区间上单调递增. 考点八：抽象函数的单调性 例8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，. (1)证明：当时，； (2)判断的单调性并加以证明； (3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数单调递减，证明见解析 (3) 【解析】 【分析】 （1）赋值法，取可得，再令可证； （2）