第13讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第13讲 函数的表示方法 【学习目标】 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.会求函数的解析式. 【基础知识】 知识点一 函数的三种表示方法　注意三种表示方法的优缺点 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 知识点二 分段函数　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集 分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域. (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 【考点剖析】 考点一：三种表示法的应用 例1．已知函数，部分与的对应关系如表：则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据表格中所给数据，即可求出结果． 【详解】 由表知，，则． 故选：D． 考点二：求函数解析式 例2．根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）利用换元法即可求解； （2）设，然后结合待定系数法即可得解； （3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案. (1) 解：令，则， 故， 所以； (2) 解：设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； (3) 解：因为①， 所以②， ②①得， 所以. 考点三：分段函数求值问题 例3．，则=__________． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据函数解析式，代入自变量的值，求得函数值即可. 【详解】 由题知，， 则 故答案为：9. 考点四：分段函数解不等式问题 例4．已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是____. 【答案】(－∞，－3). 【解析】 【分析】 根据分段函数，分当a≤－2，－2＜a＜4， a≥4，由f(a)＜－3讨论求解. 【详解】 当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，解得a＜－4，此时不等式无解； 当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，解得a＜－1，此时不等式无解. 综上：a的取值范围是(－∞，－3). 故答案为：(－∞，－3) 考点五：分段函数的图象与应用 例5．已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域 【解析】 (1)因为 所以 (2)当时，，不合题意，应舍去 当时， 解之得或（舍） 当时，，则 综上，或 (3) 值域为 【真题演练】 1．下列函数中，不满足：的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】 试题分析：A中，B中，C中，D中 考点：函数关系判断 2．设,若,则 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【详解】 由时是增函数可知，若，则，所以，由得，解得，则，故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 3．设函数则=_____；若，则x的取值范围是________； 【答案】          【解析】 【分析】 将函数化为分段函数，代入自变量求，在各区间上解不等式，然后取其并集． 【详解】 由题设，， 所以， 由， 若，可得； 若，可得； 综上，不等式解集为. 故答案为：，. 4．已知，函数若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】 ，故， 故答案为：2. 5．函数的定义域是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】 由已知得， 即 解得， 故函数的定义域为. 【点睛】 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 6．设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a