第10讲 指数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第10讲 指数 【学习目标】 1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3. 通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 【基础知识】 知识点一 n次方根，n次根式 (1)a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示　求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二 根式的性质　 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1). (4)＝a(n为大于1的奇数). (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 知识点三 分数指数幂　 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点四 有理数指数幂的运算性质　记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘 (1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). (2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q). 知识点五 无理数指数幂　实数指数幂是一个确定的实数 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【考点剖析】 考点一：由根式的意义求范围 例1．，则实数a的取值范围_________  【答案】 【解析】 【分析】 由二次根式的化简求解 【详解】 由题设得， ， 所以 所以，． 故答案为： 考点二：利用根式的性质化简或求值 例2．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 本题应用，为奇数，进行整理计算． (1) (2) 考点三：有限制条件的根式的化简 例3．已知，化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据根式与指数幂的互化即可求出结果. 【详解】 ， ． 故答案为：． 考点四：根式与指数幂的互化 例4．用分数指数幂表示下列各式： (1)＝____;   (2)＝____；(3)＝____;   (4)＝____；(5)＝____. 【答案】                    ##     【解析】 【分析】 利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂. 【详解】 （1）；（2）=；（3）=；（4）；（5） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 考点五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 例5．化简（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. (1) (2) 考点六：整体代换法求分数指数幂 例6．已知，求下列各式的值： ①； ②． 【解析】 ①将两边平方，得． 即． ②将两边平方，得， 即． 【真题演练】 1．化简 (a>0)等于（       ） A．6a B．－a C．－9a D．9a2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数运算法则进行运算. 【详解】 故选：C 2．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答. 【详解】 因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．已知实数满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算求解. 【详解】 设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 4．有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用公式进行求解. 【详解】 ① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 5．若，，则的值为（       ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解. 【详解】 依题意，，，