第11讲 对数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第11讲 对数 【学习目标】 1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算. 4.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 【基础知识】 知识点一 对数的概念 (1)对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数 通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN. 知识点二 对数与指数的关系　 易得alogaN＝N，logaab＝b. 根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系： 当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 知识点三 对数的有关性质　 对数的有关性质是解题的重要依据 (1)零和负数没有对数； (2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)； (3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1). 知识点四 对数运算性质　熟记对数运算性质，切忌记混性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0) 知识点五 换底公式　 经常转化为常用对数和自然对数 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). 【考点剖析】 考点一：对数的定义及其应用 例1．使式子有意义的的取值范围是（       ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】 【分析】 对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围. 【详解】 由题意得：，解得：且. 故选：D 考点二：指数式与对数式的互化 例2．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】 【分析】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答. (1) 因为，所以有：. (2) 因为，所以有：. (3) 因为，所以有：. (4) 因为，所以有：. (5) 因为，所以有：. (6) 因为，所以有：. 考点三：对数的运算性质 例3．已知，那么用表示是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用对数的运算法则求解即可. 【详解】 ， 故选:. 考点四：换底公式的应用 例4．________． 【答案】8 【解析】 【分析】 直接利用对数的运算性质及对数的换底公式，对已知式子进行化简即可求解． 【详解】 解： ， 故答案为：8． 考点五：利用对数运算法则化简与求值 例5．计算求值 (1)； (2)； (3)已知，求的值． 【答案】(1)44 (2) (3)1 【解析】 【分析】 （1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1) ； (2) ； (3) ，， 则，； 所以． 考点六：两边取对数思想在解题中的应用 例6．已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 令，利用指数对数的互化和换底公式分别表示出，，，进而即可得到. 【详解】 设()， 则，，， 故. 【真题演练】 1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】 【分析】 将代入函数结合求得即可得解. 【详解】 ，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】 本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 2．已知，，，，则下列等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：相除得，又，所以.选B. 【考点定位】指数运算与对数运算. 3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073