第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【学习目标】 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 【基础知识】 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式． 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 知识点七 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【考点剖析】 考点一：解不含参数的一元二次不等式 例1．不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接解一元二次不等式即可得答案. 【详解】 解：原式化为，即，故不等式的解集为. 故选:D 考点二：解含参数的一元二次不等式 例2．已知关于x的不等式的解集为． (1)写出a和b满足的关系； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系. （2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集. (1) 解：因为，所以， 因为不等式的解集为，所以，且，解得． (2) 由（1）得 则不等式等价为， 即，即． 因为，所以不等式的解为． 即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示） 考点三：一元二次不等式恒成立问题 例3．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 【详解】 当时，不等式为，满足题意； 当，需满足，解得， 综上可得，的取值范围为， 故答案为：. 考点四：由一元二次方程的根确定参数 例4．若不等式的解集为，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式的解集可知和是方程的两根且，由此可得韦达定理的形式，将所求不等式化为，解一元二次不等式可得结果. 【详解】 的解集为， 和是方程的两根且，，即； 则可化为，， 解得：或，即不等式的解集为. 故答案为：. 考点五：一元二次方程的根的分布问题 例5．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据的图像可得两个根都大于时关于的不等式组，解出的范围即可. 【详解】 解：的两个根都大于 ，解得 可求得实数的取值范围为 故答案为： 考点六：一次分式不等式的解法 例6．不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】 不等式的解集，即为不等式的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】 解：不等式的解集， 即为不等式的解集， 解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 考点七：实际问题中的一元二次不等式问题 例7．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？ 【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象. 【解析】 【分析】 根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可. 【详解】 因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：