第07讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第07讲 不等式的基本性质 【学习目标】 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 3.掌握不等式的基本性质. 4.运用不等式的性质解决有关问题. 【基础知识】 知识点一　两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3) a<b⇔a－b<0. 知识点二 等式的性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点三 不等式的性质　 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c. 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 【考点剖析】 考点一：实数(式)的比较大小 例1．比较大小：__________填”或“ 【答案】 【解析】 【分析】 由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】 因为，且， 所以 所以 故答案： 考点二：利用不等式的性质判断命题的真假 例2．（多选题）1．下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对于A：利用同向不等式相加，即可证明； 对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明； 对于D：取特殊值即可否定结论. 【详解】 对于A：因为，所以. 因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确； 对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确； 对于C：因为，所以. 因为，所以. 对两边同乘以，有，所以.故C正确； 对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误. 故选：ABC 考点三：利用不等式的性质证明不等式 例3．（1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）利用作差法即证； （2）利用作差法即证. 【详解】 （1）∵， ∴； （2）∵ ， 当且仅当时等号成立， ∴ 考点四：利用不等式的性质求范围 例4．（1）已知，，求和的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据不等式的性质求解 （2）由待定系数法配凑后求解 【详解】 （1）， 又， ， 又， （2）设，得 即 而， 【真题演练】 1．已知，下列选项中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 用不等式的基本性质得解. 【详解】 ，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 【答案】B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】 设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B． 【点睛】 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】 若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 4．已知实数a，b，c. A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项， B.令可排除此选项， C.令可排除此选项，故选D． 【考点】不等式的性质． 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题