第05讲 充分条件、必要条件、充要条件-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 【基础知识】 知识点一 充分条件、必要条件 1.在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作 ，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”. 2.当 时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 知识点二 充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件； 如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”. 知识点三 充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1.判定定理实际上给出了一个充分条件. 2.性质定理实际上给出了一个必要条件. 3.一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件. 4.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 【考点剖析】 考点一：充分条件、必要条件的判断 例1．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 易知充分性成立，取特殊值检验知必要性不成立，即可求解. 【详解】 当时，成立，即充分性成立， 当时，满足，但不成立，即必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 考点二：根据充分条件求参数的范围 例2．集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合,解不等式或即得解. 【详解】 解：，． 因为“”是“”的充分条件，即当时，成立， 所以或，即． 故选：C． 考点三：根据必要条件求参数的范围 例3．已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（       ） A．（3，5） B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】 因为q是P的必要条件，所以， 解得，所以实数m的取值范围为. 故选：B 　　考点四：根据充要条件求参数的范围 例4．方程至少有一个负实根的充要条件是（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】 当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 考点五：充要条件的证明 例5．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证. 【详解】 充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【真题演练】 1．已知，若集合，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】 当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．设集合，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件. C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】 解：当时，，满足，故充分性成立； 当时，或，所以不一定满足，故必要性不成立. 故选：A. 【点睛】 本题