28.2.2　应用举例（第2课时）（教学教案）-【梓耕教育】初中九年级下册数学同步教学（人教版）

第二课时　与方向角、坡度(角)有关的解直角三角形的应用 1.能运用解直角三角形解决航行问题. 2.能运用解直角三角形解决斜坡问题. 3.理解坡度i==tan 坡角. 阅读教材P76~77,自学“例5”和“归纳”,掌握利用解直角三角形的知识解决方向角的实际问题,完成下列各题. (1)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: A.将实际问题抽象为数学问题,画出图形,转化为解直角三角形的问题; B.根据条件的特点,适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形; C.得到数学问题的答案; D.最后得到实际问题的答案. (2)已知外婆家在小明家的正东方,学校在外婆家的北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校的距离相等,则学校在小明家的北偏东40°方向. 类型1　方向角问题 【例1】　如图所示,海中一小岛A,该岛四周10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续向东航行,那么货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗? 〔解答〕　过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD中, ∵tan ∠BAD=,∴BD=AD·tan 55°. 在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=,∴CD=AD·tan 25°. ∵BD=BC+CD,∴AD·tan 55°=20+AD·tan 25°. ∴AD=≈20.79>10. 答:轮船继续向东行驶,不会有触礁危险. 【点拨】　应先求出点A距BC的最近距离,若大于10,则无危险;若小于或等于10,则有危险. 【跟踪训练1】　(《全科王》28.2.2第二课时第3题)小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米?(精确到1米,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.41,≈1.73) 解:小亮与妈妈相距约288米. 【点拨】　解这类题目时,首先弄清楚方向角的含义;其次是通过作垂线构造直角三角形,将问题转化为解直角三角形. 类型2　坡度、坡角问题 【例2】　如图所示,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m) 〔解答〕　过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F, 在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=, ∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m). ∵斜坡的坡度i=≈0.3333,∴≈0.3333, 即tan α≈0.3333.∴α≈18°26'. ∵=sin α,∴AB=≈≈72.7(m). 答:斜坡AB的坡角α约为18°26',坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m. 【点拨】　这类问题,首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义;其次,要将梯形予以分割,分割成特殊的四边形和直角三角形. 【跟踪训练2】　(《全科王》28.2.2第二课时第6题)某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图所示,已知两楼的水平距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为30°的斜坡,斜坡的顶端距离乙楼4米(即CD=4米),求斜坡BC的长度(结果保留根号). 解:斜坡BC的长度为6米. 1.如图所示,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶,堤坝高BC=50 m,则迎水坡面AB的长度是 (　C　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.50 m B.100 m C.100 m D.150 m 2.如图所示,一段河坝的横截面为梯形ABCD,根据图中数据,可求出坝底宽AD为(7.5+4)m.(i=CE∶ED,单位:m) 3.如图所示,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上. (1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案); (2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan 75°≈3.73,tan 15°≈0.27,≈1.41,≈2.45) 解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°. (2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能在1小时内赶到.