28.2.2　应用举例（第1课时）（教学教案）-【梓耕教育】初中九年级下册数学同步教学（人教版）

28.2.2　应用举例 第一课时　与仰角、俯角有关的解直角三角形的应用 1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题. 2.进一步理解仰角、俯角等概念,并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形. 3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题. 【例1】　(教材例3变式)如图所示,图(1)是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切,将这个游戏抽象为数学问题,如图(2). (1) (2) 已知铁环的半径为15 cm,设铁环中心为O,铁环钩与铁环的相切点为M,铁环与地面的接触点为A,∠MOA=α,且sin α=. (1)求点M离地面AC的高度BM; (2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49 cm,求铁环钩MF的长度. 〔解答〕　过点M作与AC平行的直线,与OA,FC分别相交点于H,N. (1)在Rt△OHM中,∠OHM=90°,OM=15,HM=OM·sin α=9, ∴OH=12,MB=HA=15-12=3. 答:铁环钩离地面的高度为3 cm. (2)∵铁环钩与铁环相切, ∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,即∠FMN=∠MOH=α. ∴=sin α=.∴FN=FM. 在Rt△FMN中,∠FNM=90°, MN=BC=AC-AB=49-9=40. ∵FM2=FN2+MN2, ∴FM2=+402.解得FM=50. 答:铁环钩的长度FM为50 cm. 【点拨】　步骤:(1)根据题意画出平面图形,再将所求问题转化为直角三角形问题;(2)利用直角三角形的边角关系与三角函数的有关知识解答. 【跟踪训练1】　(《全科王》28.2.2第一课时第2题)如图所示,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α,则栏杆A端升高的高度为 (　B　) A.米 B.4sin α米 C.米 D.4cos α米 【例2】　(教材例4变式)如图所示,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶A的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶点A的仰角β=60°,求树高AB.(结果保留根号) 〔解答〕　过点C作CF⊥AB于点F,则四边形CDBF是矩形. 则CF=DB,FB=CD=4米.设AB=x米, 则AF=AB-FB=(x-4)米. 在Rt△ACF中,CF==(x-4)米. ∴DB=(x-4)米. 在Rt△AEB中,EB==x米. ∵DB-EB=DE, ∴(x-4)-x=3.解得x=6+. 答:树高AB是米. 【跟踪训练2】　(《全科王》28.2.2第一课时第7题)如图所示,某山顶上建有手机信号中转塔AB,在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°,塔底的仰角∠BDC=45°,点D距塔AB的距离DC为100米,求手机信号中转塔AB的高度(结果保留根号). 　　解:手机信号中转塔的高度为100(-1)米. 1.如图所示的是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为 (　D　) A.4米 B.(2+2)米 C.(4-4)米 D.(4-4)米 2.如图所示,小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC的楼底C点的俯角为60°,此时他距地面的高度AE为21米,电梯再上升9米到达D点,此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°,求大楼BC的高度.(结果保留根号) 解:大楼BC的高度是(30+7)米. 1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题. 2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想. 学科网（北京）股份有限公司 $