第02讲 子集、全集、补集-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第02讲 子集、全集、补集 【学习目标】 1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2. 在具体情境中，了解全集与补集的含义. 3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 【基础知识】 知识点一 子集 1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.规定：空集是任何集合的子集,即. 3.子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集,即. （2）若,且,则. 知识点二 韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A是B的子集,可用下图表示： ( B A ) 知识点三 真子集 1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）. 2.真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集. （2）若A B,B C,则A C. 知识点四 集合的相等与子集的关系 1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B. 2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A. 知识点五 有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2. 知识点六 补集 1.全集：在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用表示. 2.如果集合A是全集的一个子集,则由中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在中的补集,记作. 3. 数学表达式：. 4.用Venn图表示（阴影部分）如图所示： ( U A ) 5. 给定全集的子集及其任意一个子集A,则 ①； ②； ③. 【考点剖析】 考点一：集合的包含关系判断 例1．①，②，③，④，其中正确的个数为(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断. 【详解】 正确； 正确； 不正确，左边是数集，右边是点集； 不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同. 故正确的有①②，共2个. 故选：B. 考点二：集合的相等 例2．已知，.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合与集合相等列式即可求解 【详解】 因为 所以解之得： 故答案为： 考点三：空集的定义、性质及运算 例3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误. 【详解】 ①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确. 故选：B. 考点四：子集与真子集的个数问题 例4．设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】 先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】 解：， 故A的子集个数为8， 故答案为：16 考点五：补集及其运算 例5．已知集合，，则　　 【答案】 【解析】． 考点六：集合关系中的参数取值问题 例6．设非空集合，，． （Ⅰ）当时，求集合； （Ⅱ）当时，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，， （Ⅱ）若，则有： 由于，有， 解得：， 的取值范围为：． 【真题演练】 1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【详解】 求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】 本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B． 3．已知集合，则中元素的个数为（       ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答