专题13 充分条件与必要条件-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题13充分条件与必要条件 【知识点梳理】 知识点1：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的不充分条件 q不是p的不必要条件 知识点2：充要条件 1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q． 2．如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 4．如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件． 若A⊆B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件． 若A⊇B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立． 【题型归纳目录】 题型1：充分条件与必要条件的判定 题型2：充要条件的判断 题型3：充要条件的证明 【典型例题】 题型1：充分条件与必要条件的判定 1．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简不等式，再利用充分必要性的定义判断得解. 【详解】 解：因为，所以或， 当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件； 当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2．（2022·浙江省淳安中学高一期中）已知实数满足，则“”是“”（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由，，依题意可得只需比较与的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得； 【详解】 解：因为， 又，则， 所以要比较与的大小，即比较与的大小， 即比较与的大小， 当且时，且， 即，所以，即，故充分性成立， 当时，此时也满足，故必要性不成立； 即“”是“”充分不必要条件； 故选：A 3．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由得到，再考虑充分性和必要性得解. 【详解】 解：， 当“”时，，所以，所以“”是“”的充分条件； 当时，有可能，不一定有，所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 4．（2022·湖北恩施·高一期中）“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（       ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】 解：若实系数一元二次方程有虚根， 则，即， 所以“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件， 故选：A 5．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等边三角形的定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立. 故选：B. 题型2：充要条件的判断 1．（2022·湖南·金海学校高一期中）“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案 【详解】 由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件； 求解，得到，故“”是“”的不必要条件； 故选：A 2．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设P：，q：，则p是q成立的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】 由不能推出，例如， 但必有， 所以：是：的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2022·广东茂名·高一期末）命题“且”是命题“”的（       ）条件