假期作业3 导数的应用(二)-【快乐假期】2022高二理科数学暑假作业（老教材）

１０．解析:(１)当a＝２时,f(x)＝x ２ ２x ,(x＞０)． f′(x)＝x (２－xln２) ２x ,(x＞０) 令f′(x)＞０,即０＜x＜ ２ln２ ,此时f(x)单调递增; 令f′(x)＜０,即x＞ ２ln２ ,此时f(x)单调递减; 故f(x)的 单 调 递 增 区 间 ０,２ln２( ) ,单 调 递 减 区 间 ２ ln２ ,＋∞( )． (２)要使y＝f(x)与y＝１有２个交点, 即x a ax ＝１有２解,故lnxx ＝ lna a 有２解． 令g(x)＝lnxx ,(x＞０),g′(x)＝１－lnxx２ ,(x＞０) 令g′(x)＝１－lnxx２ ＝０,解得x＝e． 令g′(x)＞０,即０＜x＜e,此时g(x)单调递增; 令g′(x)＜０,即x＞e,此时g(x)单调递减; 故g(x)max＝g(e)＝ １ e ,而g(x)在x＞e时, g(x)∈ ０,１e( ) , 因g(１)＝０,即要使条件成立,即:０＜lnaa ＜ １ e Ⅰ:当０＜a＜１,此时不符合条件． Ⅱ:当a＞１,因g(x)max＝g(e)＝ １ e 故a∈(１,e)∪(e,＋∞)． 答案:(１)递增区间 ０,２ln２( ) ,递减区间 ２ ln２ ,＋∞( ) (２)a∈(１,e)∪(e,＋∞) 假期作业三 技能提升台 １．C　[构造函数F(x)＝f (x) ex ,则F′(x)＝f′ (x)－f(x) ex ＜ ０,F(x)在 R上单调递减,又f(x)＜２ex 等价于f (x) ex ＜２ ＝f (０) e０ ,从而x＞０．故选 C．] ２．D　[导数为正说明盈利是增加的,导数变小说明增加的 幅度变小了,但还是增加的．] ３．B　 [设 函 数 g(x)＝f (x) x２ (x＞０),则 g′(x)＝ x２f′(x)－２xf(x) x４ ＝xf′ (x)－２f(x) x３ ＜０,所以函数g(x) 在(０,＋∞)上为减函数,所以g(１)＞g(２),即f (１) １２ ＞ f(２) ２２ ,所以４f(１)＞f(２),故选B．] ４．D　[设一段为x,则另一段为１２－x(０＜x＜１２), 则S(x)＝１２× x ３( ) ２ × ３２＋ １ ２× １２－x ３( ) ２ × ３２＝ ３ ４ ２x２ ９ － ８x ３＋１６( ) ,∴S′(x)＝ ３ ４ ４ ９x－ ８ ３( )． 令S′(x)＝０,得x＝６,当x∈(０,６)时,S′(x)＜０, 当x∈(６,１２)时,S′(x)＞０, ∴当x＝６时,S(x)最小． ∴S＝ ３４ ２× １ ９×６ ２－８３×６＋１６( )＝２ ３(cm ２)．] ５．A　[因为f(x)＝１４x ２＋cosx,所以f′(x)＝１２x－sinx , 这是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B、D;因 为当x→０时,sinx→x,所以当x 从右边趋近于０时, sinx≈x＞１２x ,所以f′(x)＝１２x－sinx＜０ ,故选 A．] ６．B　[令t＝lnxx ,y＝lnxx ,y′＝１－lnxx２ , 当f′(x)＞０,０＜x＜e,当f′(x)＜０,x＞e,f(x)递增区 间是(０,e),递减区间是(e,＋∞), x＝e,f(x)取得极大值为１e ,也为最大值, x→０,f(x)→－∞,x→＋∞,f(x)→０,x＞１,f(x)＞０ 当t≤０或t＝１e 时,方程t＝lnxx 有一个解,当０＜t＜ １e 时,方程t＝lnxx 有两个解, 当t＞１e 时,方程t＝lnxx 没有实数解, 方程 lnx x( ) ２ －m􀅰lnxx －１＝０ 有三个不同的解,则t２－ mt－１＝０要有两个实数解, 设为t１,t２,t１t２＝－１,必有一个根小于０,只需另一根在 ０,１e( ) ,设g(t)＝t ２－mt－１,g(０)＝－１,∴g １e( ) ＝ １ e２ －me－１＞０ ,解得m＜１e－e． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ ７．解析:由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号 即可．f′(x)＝３x２－３,令３x２－３＝０,得x＝±１,只需f(－１) 􀅰f(１)＜０,即