假期作业6 数学归纳法-【快乐假期】2022高二理科数学暑假作业（老教材）

２．A　[三段论的常用格式为大前提:M 是P;小前提S 是 M;结论:S是P,四个选项中只有 A符合三段论的格式, 故选 A．] ３．B　[假设三个方程都没有实数根, 则 １６a２＋１６a－１２＜０, (a－１)２－４a２＜０, ４a２＋８a＜０, ì î í ï ï ïï 解得－３２＜a＜－１ , 故三个方程x２＋４ax－４a＋３＝０,x２＋(a－１)x＋a２＝０, x２＋２ax－２a＝０至少有一个方程有实数根时,实数a的 取值范围为a≤－３２ 或a≥－１．] ４．B　[天干是以１０为公差的等差数列,地支是以１２为公 差的等差数列, ２０１８年是干支纪年法中的戊戌年,则２０５０年的天干为 庚,地支为午,故选B．] ５．A　[设双曲线方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)．F(－c, ０),B(０,b),A(a,０),则FB→＝(c,b),AB→＝(－a,b)．因为 FB→⊥AB→,所以FB→􀅰AB→＝－ac＋b２＝０．又b２＝c２－a２, 所以c２－ac－a２＝０,即e２－e－１＝０,解得e＝１± ５２ ． 又 e＞１,所以e＝１＋ ５２ ． 故选 A．] ６．A　[类比平面中求动点轨迹方程的方法,在空间任取一 点P(x,y,z),则AP →＝(x－１,y－２,z－３) ∵平面法向量为n＝(－１,－２,１), ∴－(x－１)－２×(y－２)＋１×(z－３)＝０, ∴x＋２y－z－２＝０,故选 A．] ７．解析:平面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方 形→正方体,面积→体积,矩形→长方体,圆→球． 答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大; 表面积一定的所有长方体和球中,球的体积最大 ８．解析:令 sinx１＋sinx２＋􀆺＋sinxn n ≤ sin x１＋x２＋􀆺＋xn n 中的x１＝A,x２＝B,x３＝C,n＝３, 可得sinA＋sinB＋sinC ３ ≤sin A＋B＋C ３ ,由于 A＋B＋ C＝π, 所以sinA＋sinB＋sinC ３ ≤sin π ３ ,即 sinA＋sinB＋ sinC≤３ ３２ 当且仅当A＝B＝C＝π３ 时取等号( ． 答案:３ ３ ２ ９．解:(１)∵方程x２－３x－４＝０的两个根分别为－１和４, ∴方程(x－１)(x２－３x－４)＝０的根分别为－１,１和４, ∴x１＋x２＋x３＝４,x１􀅰x２􀅰x３＝－４． (２)x１＋x２＋x３＝－b,x１􀅰x２􀅰x３＝－d． 证明:∵x１,x２,x３ 是一元三次方程x３＋bx２＋cx＋d＝０ 的根, ∴x３＋bx２＋cx＋d＝(x－x１)(x－x２)(x－x３), 又∵(x－x１)(x－x２)(x－x３)展开式中二次项为－(x１ ＋x２＋x３)x２,常数项为－x１􀅰x２􀅰x３, ∴x１＋x２＋x３＝－b,x１􀅰x２􀅰x３＝－d． １０．解:(１)xn＝ １ ２ (xn－１＋xn－２)(n≥３)． (２)a１＝x２－x１＝a－０＝a, a２＝x３－x２＝ １ ２ (x２＋x１)－x２＝ x１－x２ ２ ＝－ a ２ , a３＝x４－x３＝ １ ２ (x３＋x２)－x３＝ x２－x３ ２ ＝ a ４ , 由此推测an＝ － １ ２( ) n－１ a(n∈N∗ )． 证明如下: 因 为 an＋１ an ＝ xn＋２－xn＋１ xn＋１－xn ＝ １ ２ (xn＋１＋xn)－xn＋１ xn＋１－xn ＝ xn－xn＋１ ２(xn＋１－xn) ＝－１２ (常数), 又a１＝a,所以{an}是以a为首项,－ １ ２ 为公比的等比 数列, 故an＝a１􀅰 － １ ２( ) n－１ ＝ －１２( ) n－１ a(n∈N∗ )． 假期作业六 思维整合室 １．一般结论　完全　不完全 技能提升台 １．C　[A．当n＝１时,原式＝１＋k,错误;B．当n＝１时,原 式＝１,错误;C．当n＝１时,原式＝ １１ ＋ １ ２ ＋ １ ３ ,正确; D．f(k＋１)＝f(k)＋ １３k＋２＋ １ ３k＋３＋ １ ３k＋４－ １ k＋１ ,错 误．故选 C．] ２．C　[因为f(k)＝k＋(k＋１)＋(k＋２)＋􀆺＋(３k－２), f(k＋１)＝(k＋１)＋(k＋２)＋􀆺＋(３k－２)＋(３k－１)＋ ３k＋(３k＋１),则f(k＋１)－f(k)＝３k－１＋３k＋３k＋１－ k＝８k．] ３．D　[在n＝k＋１时,没有应用n＝k时的假设,故推理 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �