28.2.1 解直角三角形（教学课件）-【梓耕教育】初中九年级下册数学同步教学（人教版）

数学 9年级/全 人教 第二十八章 锐角三角函数 学习新知 检测反馈 28.2.1　解直角三角形 学 习 新 知 问题思考 在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题，把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C(如图所示).在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB=54.5 m，求∠A的度数. A B C 利用计算器可得∠A≈5°28′ 【追问】　在Rt△ABC中，你还能求出其他的边和角吗? (1)在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=30，你能求出这个直角三角形的其他元素吗? 共同探究 (2)在上图中，若AC= ，BC= ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (3)在上图中，若∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (4)在直角三角形中，知道几个元素就可以求出其他元素? (3)解直角三角形，只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角. 【总结归纳】 (1)在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个未知元素. (2)定义:由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 解这个直角三角形. 解： A B C 思考： (1)已知线段AC，BC是∠A的邻边和对边，用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系? (2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗? (3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数? (4)你有几种方法可以求斜边AB的长? 例2 如图所示，在Rt△ABC中， ∠C＝90°， ∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°. A B C a b c 20 35° 你还有其他方法求出c吗？ [知识拓展] (1)直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素. （2)运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形:①锐角之间的关系:∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形: . (3)边角之间的常用变形:a=c·sin A，b=c·cos A，a=b·tan A，a=c·cos B，b=c·sin B，b=a·tan B. (4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则. (5)选择关系式时要尽量利用原始数据，以防“累积误差”. (6)遇到不是直角三角形的图形时，要适当添加辅助线，将其转化为直角三角形求解. 检测反馈 1.由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度;(2)两个锐角的度数;(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是　　(　　) 　A.(1)(2)　　　　B.(1)(3) 　C.(2)(3)　　 D.(1)(2)(3) 　 解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角. B 2.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是( 　) 　A.csin A=a　　 B.bcos B=c 　C.atan A=b　　D.ctan B=b 解析:由a2+b2=c2，得∠C=90°，∴sin A= ，cos B= ，tan A= ，tan B= ，∴csin A=a，ccos B=a，btan A=a，atan B=b. A 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为　　　　.  解析:∵cos B= ，BC=6，∴AB= . 4.根据下列条件解直角三角形. 　(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=4，c=8; 　(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=12. 解:(1)∵∠C=90°，b=4，c=8， 　∵cos B==，∴∠B=30°， 　∴∠A=180°-90°-30°=60°. (2)∵∠C=90°，∠A=60°， 　∴∠B=180°-90°-60°=30°. 　∵tan A=tan 60= ，a=12， 　∴b=4 ，∴c=2b=8 . 谢 谢 12 $