专题06 圆-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题06 圆 【知识点梳理】 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【题型归纳目录】 题型1：直线与圆的位置关系 题型2：点的轨迹 【典型例题】 题型1：直线与圆的位置关系 例1．阅读下列材料，并按要求解答相关问题： 【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论． 如图1，若AB是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的（直径两端点A、B除外） (1)已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数． ②当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是（       ） A．线段；B．弧；C．半圆；D．圆 ③点P运动的路经长是_____． (2)已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值． 【答案】(1)①90°；②B；③2π； (2) 【解析】 【分析】 （1）①由题意可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质可得=90°始终成立；②根据题目所给材料可以推得点P运动的路径是一条以AB为直径的圆弧；③根据弧长公式计算即可； （2）设AB的中点为O，连接OC，与⊙O交于点Q，则CQ的长度即为所求CP的最小值． (1) ①如图， 由题意可得在△ABE和△BCF中， AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， BE=CF， 所以△ABE≌△BCF， 所以∠BAE=∠CBF， 所以∠BEA+∠CBF=∠BEA+∠BAE=90°， 所以∠APB=90°； ②因为E、F刚出发时，P点即点B，E、F到达终点时，P点即AC与BD的交点G， 所以由题中所给材料可以得到： 当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是以AB为直径的劣弧BG，但不是半圆或圆， 故选B； ③设AB的中点为O，则⊙O半径为4，劣弧BG所对圆心角为90°， 所以劣弧BG长度为； (2) 如图，连接OC，与⊙O交于点Q，则CQ的长度即为所求CP的最小值， 由勾股定理可得：OC=， 所以CQ=OC-OQ=，即E、F运动过程中，CP的最小值为． 【点睛】 本题考查圆的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质、新定义下的解题方法、圆的弧长计算公式、勾股定理的应用及点与圆的位置关系是解题关键． 例2．如图，是的外接圆，，为的直径交于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，