专题05 三角形-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题05 三角形 【知识点梳理】 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 【题型归纳目录】 题型1：三角形的“四心” 题型2：几种特殊的三角形 【典型例题】 题型1：三角形的“四心” 例1.在中，、分别为线段、上的点不与、、重合． 如图，若，求证： 如图，若不与平行，中的结论是否仍然成立？请说明理由； 如图，若上一点恰为的重心，，求的值． 【答案】 解：， ∽， ， ； 若不与平行，中的结论仍然成立， 分别过点、作的垂线，垂足分别为、， 、， ， ∽， ， ； 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 则分别是、的中点， ，且， ，且， ， 设， 由知：，， 则， 而， ， 解得：， ． 例2.已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，且点在第二象限，点的横坐标为过点作轴，垂足为，的面积为． 求这两个函数的表达式． 若是这个反比例函数图象上的点，且的面积是，求点的坐标． 【答案】 【小题】 设点的坐标为，则点的坐标为由的面积为，可求得因此所求两个函数的表达式分别是， 【小题】 将作为的底边，当点的横坐标是或时，的面积是，故所求点的坐标是或 例3.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：． 【答案】 证明：连接， 点是的重心， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， 且， ∽， ， ， ， ， 即． 例4.如图，在中，以为直径作交于，平分交于，若． 求证：是的切线． 若，，求的长． 【答案】 解：证明：， ． 是的直径， ， ． 平分， ， ， ， 是的切线． 设， 在中，， 即， 解得， ，． ，， ∽， ，即， ， ． 例5.如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： 作的中线；      作的高； 在边上找一点，使． 【答案】 解： 作的高如下图： 在边上找一点，使，如下图： 例6.在角平分线；中线；高线．这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，两条_________分别交，于点，若，求证：． 【答案】 解：高线． ，是的两条高线． ，． ． 又，． ． 例7.如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线，与相交于，是的高，求和的度数． 【答案】 解：是的高，， 中，， ，， 中，， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 中，． 例8.如图，在中，，． 求的度数； 平分交于点，于点，求的度数． 【答案】 解：，，， ； ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ． 题型2：几种特殊的三角形 例9.如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以点为圆心、为半径作，与相交于点，与相切于点，连接与相交于点． 求证：平； 当，时，求的长． 【答案】 证明：如图，连接． 与相切于点， 在中，，点是的中点， ，即， ， ， ， ， ， 即平分； 解：，点是的中点，， ，， 在中，，， ， 由知． ∽， ， 设的半径为，则，， ， 解得， ， ． 例10.如图，已知正方形的边长为，点在边上，点在的延长线上，设正方形的面积为，以线段和为邻边的矩形的面积为，且． 求线段的长． 若为边上一点，，连接，，判断的形状． 【答案】 解：设正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ． ， 解得：，或舍去， ； 是等腰三角形；理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， 是等腰三角形． 例11.如图，在和中，，，与相交于点． 求证