专题02 分解因式-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题02 分解因式 【知识点梳理】 知识点1：十字相乘法 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点2：提取公因式法与分组分解法 1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言： 3.提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4.注意事项：因式分解一定要彻底 知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【题型归纳目录】 知识点1：十字相乘法 例1．分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】 先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可； 【详解】 解：原式=， 故答案为：； 【点睛】 本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，使a•b=q且a+b=p，那么x2+px+q= x2+（a+b）x+a•b=（x+a）（x+b）． 例2．请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 【答案】（1）；（2）（3）；（4），画图见解析 【解析】 【分析】 （1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可； （2）利用面积的两种计算方法可证明公式； （3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可； （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案． 【详解】 解：（1）， 故答案为：； （2）长方形的面积为： 长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：， 所以． （3）按照小明发现的规律： （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下： ∴． 【点睛】 本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键． 例3．阅读下面材料，并回答相应的问题： 通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法． (1)请运用多项式乘以多项式的法则填空： __________，____________， __________，__________． 从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下： ________________． (2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）． 利用这种方法，请将下列各式因式分解： __________，___________， __________，___________．