专题01 数与式的运算-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题01 数与式的运算 【知识点梳理】 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【题型归纳目录】 题型1：绝对值 题型2：乘法公式 题型3：二次根式 题型4：分式 【典例例题】 题型1：绝对值 例1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：，， x−5=0，y−10=0， 解得x=5，y=10， 当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10， ∵5+5=10， ∴不能组成三角形； 当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10， 能组成三角形，周长=5+10+10=25， 所以，三角形的周长为25， 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 例2．已知x，y满足，则的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平方和绝对值的非负性求出，，联立可以求出x，y的值，再求出的值，进一步求出其平方根即可． 【详解】 解：由题意可知：，， 联立可得：，解之得：， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 故选：B． 【点睛】 本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，二元一次方程组，平方根，解题的关键是依据平方的非负性，绝对值的非负性，联立，，得到方程组． 例3．如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a﹣3|﹣＝_____． 【答案】2a-7 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简绝对值即可． 【详解】 解：由数轴可得：3＜a＜4， 则|a﹣3|﹣ =a-3- =a-3-4+a =2a-7 故答案为：2a-7 【点睛】 此题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围． 例4．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则 (1)请你直接写出的“近距”______﹔ (2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标： 【答案】(1)2 (2)点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，） 【解析】 【分析】 （1）根据P，Q两点的“近距”的定义求解即可； （2）分两种情况：当点E在x轴上时，设，则，可得，当点E在y轴上时，设，则，可得，求出m，n的值即可． (1) ∵，， 又∵， ∴， 故答案为：2； (2) 如图所示： ∵点D（3，4