专题21 立体几何线线角、线面角、二面角的求解-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题21 立体几何线线角、线面角、二面角的求解 一、线线角及线线角的求法 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、线线角的求法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、线面角及线面角的求法 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、线面角的求法： （1）垂线法求线面角（也称直接法）： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 （2）公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 三、二面角的定义 1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 四、面面角的求法： 1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 考向1 几何法求线线角 【例1】在正三棱柱中，，为的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设的中点为，连接，，，易证. 因为，所以异面直线和的夹角为(或其补角)， 因为，， 所以，故选：A 【变式1-1】已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若为中点，连接，又是棱中点， 所以，在直三棱柱中且， 即为平行四边形， 所以，则直线与直线所成角即为， 若，则，， 所以.故选：C 【变式1-2】如图，在三棱柱中，，，，那么异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点 ，连接 ,为的中点， 又 ,为等边三角形 又平面 , 平面 平面 ,又平面 ,即异面直线与所成的角为，故选：D 【变式1-3】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接. 因为为中点，且， 所以四边形为矩形， 所以， 所以或其补角为异面直线与所成的角. 设圆的半径为1，则. 因为，所以. 在直角中，，得. 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 考向2 几何法求线面角 【例2】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为， 由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为.故选：D 【变式2-1】如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，E，F为底面圆周上的点，且，，M为CD的中点，则直线AB与平面EFM所成的角为（