第03讲 全等三角形常见模型专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第3讲 全等三角形常见模型专题探究 模型一 K型图 【知识点睛】 · K型图模型总结 图形 条件与结论 辅助线 注意事项 条件：AC=BC,AC⊥BC 结论： △ADC≌△CEB(AAS) 分别过点A、B作AD⊥l, BE⊥l K型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方形结合 K型全等模型变形——三垂定理： 如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS) 总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系 【类题训练】 1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案． 【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm， 故选：C． 2．（2021秋•惠民县月考）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S＝　98　． 【分析】由“AAS”可证△FEA≌△GAB，可得AG＝EF＝8，AF＝BG＝4，同理可得CG＝DH＝6，BG＝CH＝4，由面积和差关系可求解． 【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠EFA＝∠AGB＝∠EAB＝90°， ∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°， ∴∠FEA＝∠BAG， 在△FEA和△GAB中， ， ∴△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG＝EF＝8，AF＝BG＝4， 同理CG＝DH＝6，BG＝CH＝4， ∴FH＝4+8+4+6＝22， ∴梯形EFHD的面积＝×（EF+DH）×FH＝×（8+6）×22＝154， ∴实线所围成的图形的面积S＝154﹣2××4×8﹣2××4×6＝98， 故答案为：98． 3．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠BCE＝∠CAD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE； （2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACE+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：AD＝BE+DE，理由如下： ∵△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵CE＝CD+DE， ∴AD＝BE+DE． 4．（2020秋•永年区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与BC点重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E． （1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝　30　°，∠DEC＝　100　°； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由． 【分析】（1）由补角的定义可求∠ADC＝80°，进而可求解∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理可求解∠DEC的度数； （2）可利用AAS证明△ABD≌△DCE． 【解答】解：（1）∵∠BDA+∠ADC＝180°，∠BDA＝100°， ∴∠ADC＝80°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝30°； ∵∠C＝50°，∠C+∠EDC+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝100°； 故答案为30；100； （2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE， 理由如下：∵AB＝3，DC＝3， ∴AB＝DC， ∵∠B＝50°，∠ADE＝50°， ∴∠B＝∠ADE， ∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，∠DEC+∠C+∠EDC＝180°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． 5．（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当