专题1.3 正方形中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题1.3 正方形中的综合 【典例1】四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，AD＞AE，点E在线段AD的左侧，连接DE，BG． （1）如图1，若点F在边AD上时，AD＝3，AE，求DE的长． （2）如图2，连接BF，若∠ADE＝∠ABG，BF＝BC，求证：三点B，G，E在同一直线上． 【思路点拨】 （1）作EH⊥AD于点H，由四边形AEFG是正方形得AE＝FE，根据勾股定理求出AF的长为2，则AH＝EHAF＝1，而AD＝3，所以DH＝2，再根据勾股定理求出DE的长即可； （2）先证明△DAE≌△BAG，得AD＝AB，可证明四边形AEFG是正方形，则BF＝BA＝BC，可知点B在线段AF的垂直平分线上，而GA＝GF，EA＝EF，则点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，由此可得三点B，G，E在同一直线上． 【解题过程】 （1）解：如图1，作EH⊥AD于点H， ∵四边形AEFG是正方形，点F在边AD上， ∴AE＝FE，∠AEF＝90°， ∴AF2， ∴AH＝FHAF＝1， ∴EHAF＝1， ∵AD＝3， ∴DH＝AD﹣AH＝2， ∵∠DHE＝90°， ∴DE， ∴DE的长是. （2）证明：如图2，连接AF， ∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，∠EAG＝∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝∠BAG＝90°﹣∠DAG， 在△DAE和△BAG中， ， ∴△DAE≌△BAG（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形AEFG是正方形， ∴BA＝BC， ∵BF＝BC， ∴BA＝BF， ∴点B在线段AF的垂直平分线上， ∵GA＝GF，EA＝EF， ∴点G、点E都在线段AF的垂直平分线上， ∴三点B，G，E在同一直线上． 1．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 2．（2021秋•井研县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2021春•丹江口市期中）如图，以Rt△ABC的斜边AB为边，在AB的右侧作正方形ABDE，对角线AD，BE交于点O，已知，AC＝10，BC＝6，则OC的长为（　　） A． B．8 C．12 D． 5．（2021秋•呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GHBC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2021春•仙桃校级月考）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2021春•鄞州区期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2021春•青川县期末）如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中： ①AF⊥DE；②AD＝BP；③PE+PF；④PE+PF＝PC． 其中正确的是（　　） A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③ 9．（2021秋•南海区月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，DE＝10，则AD的长为 　 　． 10．（2021秋•南岗区校级月考）如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若BD＝10，DC＝3，则高AD的长度为 　 　． 11．（2021春•宜兴市期中）在正方形ABCD中，边长为2，BE＝2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD＝45°，则线段F