专题1.2 矩形中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题1.2 矩形中的综合 【典例1】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形； （2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 【思路点拨】 （1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论； （2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠GAF＝∠HCE， ∵G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG＝BG，CH＝DH， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在△AFG与△CEH中， ∴△AFG≌△CEH（SAS）， ∴GF＝HE， 同理：GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴AC5， 由（2）可知四边形EGFH是平行四边形， 连接GH， ∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点， ∴AG＝DH，AG∥DH， ∴四边形AGHD是平行四边形， ∴GH＝BC＝4， ∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①如图1， AE＝CF＝t， 则EF＝5﹣2t＝4， 解得：t＝0.5； ②如图2， AE＝CF＝t， 则EF＝5﹣2（5﹣t）＝4， 解得：t＝4.5； 综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形． 1．（2021•富平县二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 3．（2020春•江津区期中）如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（　　） A． B．1 C． D． 4．（2021•灞桥区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（　　） A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6 5．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（　　） A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6 6．（2021春•十堰期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　 　． 7．（2020春•石城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　 　时，P、Q、C、D四点组成矩形． 8．（2021春•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　 　． 9．（2021秋•龙岗区校级期中）如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为 　 　． 10．（2022•龙岗区一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长． 11．（2021秋•萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长． 12．（2021秋•罗湖区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形