10.2.3 两条异面直线所成的角-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

适当拓展 典例注解 精炼实践 【学生版】 10.2.3 两条异面直线所成的角 【知识梳理与拓展】 1、异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)； ②范围：； 2、求异面直线所成的角常用方法 （1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； 【说明】又名“平移线段法”；平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 3、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【典例注解】 例1、在正方体中，与相交于点， 则异面直线与所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】； 例2、如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点， 则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 . 【答案】 【解析】 例3、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. （1）求A1C1与B1C所成角的大小； （2）若E，F分别为AB，AD的中点， 求A1C1与EF所成角的大小； 【精炼实践】 1、垂直于同一条直线的两条直线一定(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 2、如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________. 3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 4、如图，空间