第39期 19.3.1矩形、菱形、正方形（矩形）-【数理报】2021-2022学年下学期八年级下册初二数学（沪科版 安徽专版）

书 ∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＧ．所以△ＡＤＥ ≌△ＣＤＧ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＧ．所以ＣＥ＋ＣＧ＝ＡＥ＋ＣＥ ＝ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝８，是定值． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ 二、１１．８；　１２．２０；　１３．槡２３；　１４．２；　１５．槡４５． 三、１６．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ．所以 ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＣＥ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ， ＢＣ＝ＣＥ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＣＤ＝ ９０°．因为Ｆ为ＤＥ的中点，所以ＥＦ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝４， △ＣＥＦ的周长为１６，所以ＣＦ＝ＥＦ＝６． （２）因为ＣＦ＝６，所以ＤＥ＝２ＥＦ＝１２．所以ＣＤ＝ ＤＥ２－ＣＥ槡 ２ ＝ 槡８２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＢＣ＝ＣＤ＝ 槡８２，Ｏ为 ＢＤ的中点．所以 ＯＦ＝ １ ２ＢＥ＝ １ ２（ＢＣ－ＣＥ）＝ 槡４２－２． １８．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＢ＝ＯＤ．因为四边形ＤＯＥＣ为平行四边形，所以ＯＤ∥ ＥＣ，ＯＤ＝ＥＣ．所以ＥＣ＝ＯＢ．所以四边形ＯＢＥＣ为平行 四边形．所以Ｆ为ＢＣ的中点． （２）因为四边形ＯＢＥＣ是平行四边形，ＢＦ＝ＯＦ＝２， 所以ＢＣ＝ＯＥ＝４．所以四边形 ＯＢＥＣ是矩形．所以 ∠ＢＯＣ＝９０°．所以ＯＢ⊥ＡＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． 所以平行四边形ＡＢＣＤ的周长为：４ＢＣ＝１６． １９．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以∠Ｄ＝ ∠Ｂ，ＡＤ＝ＣＢ．在△ＡＤＦ和△ＣＢＥ中， ＡＤ＝ＣＢ， ∠Ｄ＝∠Ｂ， ＤＦ＝ＢＥ { ， 所以 △ＡＤＦ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ． （２）四边形ＨＥＧＦ是矩形．证明如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＤＣ∥ ＡＢ．所以 ∠ＤＣＥ＝∠ＣＥＢ．因为∠ＡＦＤ＝∠ＣＥＢ，所以 ∠ＡＦＤ＝ ∠ＤＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ．因为△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ，所以ＡＦ＝ ＣＥ．因为ＡＨ＝ＣＧ，所以ＡＦ－ＡＨ＝ＣＥ－ＣＧ，即 ＨＦ＝ ＧＥ．所以四边形 ＨＥＧＦ是平行四边形．因为 ∠ＡＥＨ＋ ∠ＡＦＤ＝９０°，所以∠ＡＥＨ＋∠ＣＥＢ＝９０°．所以 ∠ＨＥＧ ＝１８０°－（∠ＡＥＨ＋∠ＣＥＢ）＝９０°．所以四边形ＨＥＧＦ是 矩形． ２０．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＢＡＦ ＝∠Ｂ＝９０°．因为ＥＦ⊥ＡＤ，所以∠ＡＦＥ＝９０°．所以四 边形ＡＢＥＦ是矩形．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以ＥＦ＝ＥＢ． 所以四边形ＡＢＥＦ是正方形． （２）证明：因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以∠ＤＡＧ＝∠ＥＡＢ． 因为ＤＧ⊥ＡＥ，所以∠ＡＧＤ＝∠Ｂ＝９０°．在△ＡＧＤ和△ＡＢＥ 中， ∠ＡＧＤ＝∠Ｂ， ∠ＤＡＧ＝∠ＥＡＢ， ＡＤ＝ＡＥ { ， 所以△ＡＧＤ≌△ＡＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＧ ＝ＡＢ． （３）因为四边形ＡＢＥＦ是正方形，ＡＢ＝１，所以ＡＧ＝ ＡＢ＝１．因为∠ＤＡＥ＝４５°，所以∠ＡＤＧ＝４５°．所以ＤＧ ＝ＡＧ＝１，∠ＤＯＦ ＝４５°．根据勾股定理，得 ＡＤ ＝ ＡＧ２＋ＤＧ槡 ２ ＝槡２．所以ＤＦ＝ＦＯ＝ＡＤ－ＡＦ＝槡２－１． 根据勾股定理，得ＯＤ＝ ＤＦ２＋ＦＯ槡 ２ ＝２－槡２． ２１．（１）证明：因为ＡＤ⊥ＢＣ，ＧＦ⊥ ＢＣ，所以 ＡＥ∥ ＧＦ，∠ＧＦＢ＝９０°．所以 ∠ＡＥＧ＝∠ＥＧＦ．因为 ＢＧ平分 ∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＡＧ＝ＦＧ，∠ＡＢＧ＝∠ＦＢＧ．所 以１８０°－∠ＡＢＧ－∠ＢＡＧ＝１８０°－∠ＦＢＧ－∠ＧＦＢ，即 ∠ＡＧＥ＝∠ＥＧＦ．所以∠ＡＥＧ＝∠ＡＧＥ．所以ＡＥ＝ＡＧ．所 以ＡＥ＝ＦＧ．所以四边形ＡＥＦＧ是平行四边形．因为ＡＥ＝ ＡＧ，所以四边形ＡＥＦＧ是菱形． （２）因为Ｅ是ＢＧ的中点，∠ＢＡＧ＝９０°，所以ＡＥ＝ ＢＥ＝ＥＧ＝ＡＧ．所以∠ＡＢＧ＝３０°．根据勾股定理，得ＡＢ ＝ ＢＧ２－ＡＧ槡 ２ ＝槡３ＡＧ．在 Ｒｔ△ＡＧＢ和 Ｒｔ△ＦＧＢ中， ＢＧ＝ＢＧ， ＡＧ＝ＦＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＧＢ≌Ｒｔ△ＦＧＢ（ＨＬ）．所以 ＢＦ＝ ＡＢ＝槡３ＡＧ．因为ＢＧ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＣ＝２∠ＡＢＧ ＝６０°．所以∠Ｃ＝３０°．所以ＢＣ＝２ＡＢ＝ 槡２３ＡＧ．所以 ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝槡３ＡＧ．因为四边形ＡＥＦＧ是菱形，所以 ＥＦ∥ＡＧ，ＡＧ＝ＥＦ．又ＥＭ∥ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＭ是平 行四边形．所以ＥＭ＝ＣＦ＝槡３ＡＧ，ＥＦ＝ＣＭ＝ＡＧ．所以 是ＣＭ长槡３倍的所有线段是ＡＢ，ＢＦ，ＣＦ，ＥＭ． ４３期２版 ２０．１数据的频数分布 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　 ４．１８，２