第47期 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数-【数理报】2021-2022学年高中数学必修4（北师大版）

书 （Ｃ）中，ｙ＝ｃｏｓｘ，周期为２π； （Ｄ）中，函数非周期函数． ４．由已知ｔａｎ（α－β）＝１ ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ ＝ｌｇ１０ａ－ｌｇａ１＋ｌｇ１０ａｌｇａ ＝１ｌｇ２ａ＋ｌｇａ＝０， 所以ｌｇａ＝０或ｌｇａ＝－１，即ａ＝１或ａ＝ １１０． ５．ｙ＝ (ｓｉｎ ３ｘ＋π )３ (ｃｏｓ ｘ－π )６ ＋ (ｃｏｓ ３ｘ＋π )３ (ｓｉｎ ｘ －π )６ ＝ (ｓｉｎ ３ｘ＋π３ ＋ｘ－π )６ ＝ (ｓｉｎ ４ｘ＋π )６ ， 则对称轴满足４ｘ＋π６ ＝ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 解得ｘ＝ｋπ４ ＋ π １２，ｋ∈Ｚ．当ｋ＝０时，ｘ＝ π １２． ６．ｆ（ｘ）＝槡 (２ｓｉｎ ωｘ＋φ＋π )４ ． 因为函数是偶函数，所以当ｘ＝０时，φ＋π４ ＝ π ２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ． 又因为｜φ｜＜ π２，解得φ＝ π ４． 又因为Ｔ＝２π ω ＝π，解得ω＝２， 所以ｆ（ｘ）＝槡 (２ｓｉｎ ２ｘ＋π )２ ＝槡２ｃｏｓ２ｘ， 当ｘ (∈ ０，π )２ 时，２ｘ∈（０，π）， 此时函数ｆ（ｘ）＝槡２ｃｏｓ２ｘ递减． ７．因为ａ＝ １２ｃｏｓ６°－ 槡３ ２ｓｉｎ６°＝ｓｉｎ２４°，ｂ＝ ２ｔａｎ１３° １＋ｔａｎ２１３° ＝ｓｉｎ２６°，ｃ＝ １－ｃｏｓ５０°槡 ２ ＝ｓｉｎ２５°，利用正弦函数的性质可 知ｂ＞ｃ＞ａ，选（Ｃ）． ８．因为０＜α＜ π２，所以 π ４ ＜α＋ π ４ ＜ ３π ４， 且 (ｃｏｓ α＋π )４ ＝ １３， 所以 (ｓｉｎ α＋π )４ ＝ １－ｃｏｓ(２ α＋π )槡 ４ ＝ １－槡 １ ９ ＝ 槡２２ ３． 又因为 －π２ ＜β＜０， 所以 π ４ ＜ π ４ － β ２ ＜ π ２，且 (ｓｉｎ π４ －β )２ ＝槡３３， 所以 (ｃｏｓ π４ － β )２ ＝ １－ｓｉｎ (２ π４ － β )槡 ２ ＝ １－槡 １ ３ ＝ 槡６ ３． 从而 (ｃｏｓ α＋ β )２ ＝ [ (ｃｏｓ α＋π )４ (－ π４ － β ) ]２ ＝ (ｃｏｓ α＋π )４ (ｃｏｓ π４ －β )２ ＋ (ｓｉｎ α＋π )４ (ｓｉｎ π４ － β )２ ＝ １３ ×槡６３ ＋ 槡２２３ ×槡３３ ＝槡６３． ９．由题意， ｆ（ｘ） →＝｜ＯＭ｜ ＝ ２＋２ ｃｏｓπ３ｘｃｏｓ π ５ｘ＋ｓｉｎ π ３ｘｓｉｎ π ５( )槡 ｘ ＝ ２＋２ｃｏｓ π ３ｘ－ π ５( )槡 ｘ ＝ ２＋２ｃｏｓ ２π １５槡 ｘ ＝２ ｃｏｓπ１５ｘ ．所以Ｔ＝ π π １５ ＝１５． １０．因为 ａｓｉｎπ５ ＋ｂｃｏｓ π ５ ａｃｏｓπ５ －ｂｓｉｎ π ５ ＝ｔａｎ８π１５， 可变形为 ｔａｎπ５ ＋ ｂ ａ １－ ｂａｔａｎ π ５ ＝ｔａｎ８π１５＝ (ｔａｎ π５ ＋ )α ， 所以 π ５ ＋α＝ ８π １５，所以α＝ π ３．所以 ｂ ａ ＝ｔａｎ π ３ ＝槡３． １１．因为ａ＝（ｃｏｓ２５°，ｓｉｎ２５°），ｂ＝（ｓｉｎ２０°，ｃｏｓ２０°）， 所以ｃ＝ａ＋ｔｂ＝（ｃｏｓ２５°＋ｔｓｉｎ２０°，ｓｉｎ２５°＋ｔｃｏｓ２０°）． 所以｜ｃ｜ ＝ （ｃｏｓ２５°＋ｔｓｉｎ２０°）２＋（ｓｉｎ２５°＋ｔｃｏｓ２０°）槡 ２ ＝ １＋ｔ２＋２ｔｓｉｎ４５槡 ° ＝ ｔ２＋槡２ｔ＋槡 １ (＝ ｔ＋槡２)２ ２ ＋槡 １ ２ ≥槡 １ ２ ＝槡２２，故选（Ｃ）． １２．ｆ（ｘ）＝槡２（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＝ (２ｓｉｎ ｘ＋π )４ ． 对于①，由ｆ（α）＝槡２得 (ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２２， 因为α (∈ －π２， )０ ，所以α＋π４ (∈ －π４，π )４ ， 此时 (ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２２不成立，①错，排除（Ａ）； 对于②，由ｆ（ｘ－α）＝ｆ（ｘ＋α）， 得 (ｓｉｎ ｘ－α＋π )４ ＝ (ｓｉｎ ｘ＋α＋π )４ ， 所以ｘ－α＋π４ ＝ｘ＋α＋ π ４ ＋２ｋπ或ｘ－α＋ π ４ ＝π ( － ｘ＋α＋π )４ ＋２ｋπ恒成立，ｋ∈Ｚ， 即α＝ｋπ或ｘ＝ π４ ＋ｋπ（舍）， 由于α (∈ ０，π )２ ，所以②错，排除（Ｄ）； 对于③，ｆ（ｘ＋φ）＝ (２ｓｉｎ ｘ＋φ＋π )４ 的图像关于坐标原 点成中心对称， 所以φ＋π４ ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），即φ＝－ π ４＋ｋπ，所以③正确； 对于④，由ｆ（ｘ）＝ (２ｓｉｎ ｘ＋π )４ 知，函数ｆ（ｘ）的对称轴为 ｘ＝ π４ ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），当ｋ＝－１时，函数ｆ（ｘ）的图像关于直线 ｘ＝－３π４对称，所以④正确； 对于⑤，函数 ｆ（ｘ）的图像向左平移 π４ 个单位得到 ｙ＝ (２ｓｉｎ ｘ＋π )２ ＝２ｃｏｓｘ的图像，所以⑤错误，选择（Ｃ）． 二、填空题 １３．８；　１４．槡３；　１５． １ ２；　１６．