专题13 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题13 空间向量的应用 一、用向量法证明平行或垂直 例题1．已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①；②；③；④. 例题2．如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______． 例题3．如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则以下所有正确结论的序号是___________. ①当点E与点重合时，； ②当点E与线段的中点重合时，与异面； ③无论点E在线段的什么位置，都有； ④若异面直线与AD所成的角为，则的最大值为. 【解题技巧提炼】 一、用向量法证明平行或垂直 1、空间向量的坐标运算：设，： (1)； (2)； (3)； (4)，，()； (5)； (6)模长公式：若，则； (7)夹角公式： (8)两点间的距离公式： 若，，则：； 2、平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 3、平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： ，； ； ； ，； ，； 。 (二)模板解决步骤 1、选点建立空间直角坐标系，并把相应的点用坐标的形式表示出来。 2、把证明线线、线面、面面平行或垂直的相关向量用坐标表示出来。 3、根据线线、线面、面面平行或垂直列式计算。 4、证出结论。 二、用向量法求空间距离 1、两点间的距离的求法：、两点间的距离为。 2、点线距离的求法：如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 图1 图2 图3 3、点面距离的求法：如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 4、两异面直线距离的求法：如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 5、两平行平面间距离的求法：把求两平行平面间的距离转化为求点面距离。 (二)模板解决步骤 1、建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来，并求出该平面的一个法向量。 2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量。 3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解。 三、用向量法求空间角 1、求异面直线所成的角：如图1，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 图1 图2 图3 2、求直线和平面所成的角：如图2，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有。 3、求平面和平面所成的角(锐二面角)：如图3，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则。 (二)模板解决步骤 1、建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来。 2、将所求角涉及的直线的方向向量和平面法向量求出来。 3、代入公式求出角的三角函数值或角。 0 1．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ） A． B． C． D．或 2．