专题12 空间向量基本定理及坐标表示-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题12 空间向量基本定理及坐标表示 例题1已知向量，，则等于（       ）0 A． B． C． D． 例题2．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（       ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 例题3．以下四个命题中，正确的是（       ） A．若，则三点共线 B． C．为直角三角形的充要条件是 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【解题技巧提炼】 1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作： 2．共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一） 4．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 5空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 6．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 7．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b一定有＝＝成立吗？ [提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立． 8．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝． 0 1.在空间直角坐标系中，点和点间的距离是__________． 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________. 3．若与平行，则______． 4．已知点、，若是与同向的单位向量，则______． 5．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 6．已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________. 一、填空题 1．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号） ①，，；             ②，，； ③，，；                    ④，，． 2．若与平行，则______． 3．已知点与点的距离为3，则满足的关系式为______. 4．已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若直线上有一点，使，则______. 5．向量，，，且，，则______. 6．如图，已知在四棱锥中，点E，F分别在棱PB，AD上，且，，以为基底，若，其中x，y，z是实数，则______． 7．为平行六面体，设，E、F分别是的中点，则＝ . （用向量表示） 8．在空间坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A、B、C，则的值为________. 9．如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________. 10．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________． 11．已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________. 12．已知矩形,,,将沿矩形对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则__________. ①,都存在某个位置,使得 ②,都不存在某个位置,使得 ③,都存在某个位置,使得 ④,都不存在某个位置,使得 二、单选题 13．空间中，与向量同向共线的单位向量为（       ） A． B．或 C． D．或 14．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（       ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 15．