专题11 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题11 空间向量及其运算 例题1如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（       ） A． B． C． D． 例题2如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（       ） A． B． C． D． 例题3．已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（       ）． A． B．1 C． D．2 【解题技巧提炼】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 6．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 (1)对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线． (2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面． (3)平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 1.给出下列四个命题： ①若存在实数x，y，使，则与，共面； ②若与，共面，则存在实数x，y，使； ③若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； ④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使． 其中______是真命题.（填序号） 2．若，是空间两个非零向量，则 （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______． 3．从空间一点发出三条不共面的射线、、，在，，上分别取，，，点在上，且满足，为的中点，则______． 4．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则________. 一、填空题 1．已知点与点的距离为3，则满足的关系式为______. 2．对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P､A､B共线的是___________（填序号）. ①； ②； ③； ④. 3．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．． 4．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______． 5．平行六面体中，， ，，，则向量 的模长__________ . 6．从空间一点发出三条不共面的射线、、，在，，上分别取，，，点在上，且满足，为的中点，则______． 7．下面关于向量的结论中， （1）； （2）； （3）若，则； （4）若向量平移后，起点和终点的发