2.3函数的奇偶性、周期性、对称性（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 【题型解读】 【知识储备】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 3．与函数周期有关的结论： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 4、函数对称性（异号对称） （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ （3）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ 【题型精讲】 【题型一　判断函数奇偶性的两种方法】 必备技巧 判断函数的奇偶性 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 例1　(安老师改编山东高考)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝xlg(x＋)；②f(x)＝(1－x) ； ③f(x)＝④f(x)＝. 【解析】①∵>|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． ②当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数． ③函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． ④∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称， ∴f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． 例2　（2022·江苏·高三单元测试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（       ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【解析】令，则,且， 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令，则,且， 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误； 故选：C 【题型精练】 1. （2022·广东高三模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误； B.在上单调递减，故错误； C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确； D.因为，所以函数是偶函数，故错误； 故选： C． 2．（2022·全国·高三专题练习）设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　) A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数 C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数 【答案】D 【解析】f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数． |g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)， 所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；f (－x)|g(－x)|＝f