2.5指数和指数函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.5 指数和指数函数 【题型解读】 【知识储备】 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 【题型精讲】 【题型一　指数的运算】 必备技巧 指数运算 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 例1　（2022·济南市历城二中·月考）计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝ . 【答案】－ 【解析】原式＝－2＋－＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 例2　（2022·青岛市高三月考）化简：＝ (a>0)． 【答案】a2 【解析】原式＝ 例3　（2022·济南市高三月考）已知，求下列各式的值． （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）7；（2）47；（3）6. 【解析】（1）将两边平方得，所以． （2）将两边平方得，所以． （3）由（1）（2）可得 【题型精练】 1．（2022·全国高三专题练习）计算=__________ 【答案】18 【解析】原式 故答案为：18 2．（2022·全国高三专题练习）化简＝________. 【答案】 【解析】原式＝2×.故答案为：. 3. （2022·全国·高三专题练习）化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）原式 （2）原式＝. （3）原式. 【题型二　指数函数的图像】 必备技巧 指数型函数的图象问题 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 例4　（2022·安徽高三月考）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 【答案】B 【解析】方法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大. 由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1. ∴b＜a＜1＜d＜c. 方法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B. 例5　（2022·浙江高三课时练习）函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选. 例6　（2022·河南林州一中高三月考）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【题型精练】 1.（2022·高邮市临泽中学高三月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号； 2.（2022·辛集市第二中学高二期中）已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数， 函数y=（a-1）x2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A． 3. （2022·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，与只有一个交点， 又的图象如下： ∴. 故选：C. 【题型三　指数函数的性质】 必备技巧 指数函