2.4幂函数和二次函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.4 幂函数和二次函数 【题型解读】 【知识储备】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【题型精讲】 【题型一　幂函数的图像与性质】 例1　（2022·江西高三月考）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是幂函数，知：，又在上， ∴，即，则且， ∴.故选：D. 例2　（2022·全国·高三测试）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的， 结合选项知，指数的值依次可以是． 故选：D. 例3　（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 例4　（2022·北京人大附中高三月考）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ） A．充分不必要件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】（1）由， 由的图像经过，则的值为，此时为奇函数. 又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过. 所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件故选：C （2）因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.故选：C 【题型精练】 1. （2022·河北·邢台市第二中学高三开学考试）幂函数在上单调递增，则______． 【答案】 【解析】由题意得，解得． 故答案为：. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确. 故选：D 3. （2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______. 【答案】          【解析】依题意，设，则，解得，于是得， 显然是偶函数，且在上单调递增，而， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：； 4. （2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数， 所以，即 ，解得：， 因为，所以， 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 当时，，此时为偶函数，符合题意； 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 所以， （2）， 令 当时，，，此时是奇函数， 当时，，此时是偶函数， 当且时，，， ，，此时是非奇非偶函数函数. 【题型二　二次函数的图像与性质】 例5　（2022·河南安阳·高三月考）已知二次函数，满足，. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)解：由可得， ， 由得， 所以，解得，所以. (2)解：由（1）可得：， 则的图象的对称轴方程为，， 又因为，， 所以，在区间上的值域为. 例6　（2022·浙江高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是_________