1.1集合（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.1 集合 【题型解读】 【知识储备】 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} (2)三种运算的常见性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅. ③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. ⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 【题型精讲】 【题型一　集合的基本概念】 必备技巧 解决集合概念问题的关键 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性． 例1　（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C 例2　（2022·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 【答案】－ 【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－. 例3　【多选】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求. 【题型精练】 1. （2022·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】时，，3，4， 时，，3， 时，， 时，无满足条件的值；故共6个， 故选：D． 2．（2022·全国高三课时练习）设A＝，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________． 【答案】{4} 【解析】因为4∈A，即4∈， 所以a2－3a＝4或a＋＋7＝4. 若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4； 若a＋＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2. 由a2－3a与a＋＋7互异，得a≠－1. 故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}， 所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}． 3．（2022·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____． 【答案】0或 【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素， 当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝， 当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根， 所以△＝9﹣8a＝0即a＝ 所以实数a＝0或． 【题型二　集合的基本关系】 必备技巧 集合的基本关系 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 例4　（2022·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C 例5　（2