第03讲 集合的基本运算-2022年暑假新高一数学预习讲解+训练（人教A版2019）

第03讲 集合的基本运算 【学习目标】 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点). 2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点). 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)． 4.理解全集、补集的概念(难点)，准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点). 5.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)． 【知识结构】 【考点总结】 一、并集、交集 1、并集 (1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集． (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． (3)图形语言：如图所示． 2、交集 (1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集． (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}． (3)图形语言：如图所示． 二、补集及综合应用 补集的概念 (1)全集： ①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． ②记法：全集通常记作U. (2)补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 【例题讲解】 【类型】一、并集的概念及简单应用 例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(　　) A．{3,4,5,6,7,8}　　　B．{5,8} C．{3,5,7,8}　　 D．{4,5,6,8} (2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(　　) A．{x|－1≤x＜3}　　　 B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}　　 D．{x|x≥－1} 解析　(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}． (2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}． 答案　(1)A　(2)C 规律方法　求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到． 【训练】1、已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．∅ 【分析】直接利用两个集合并集的定义分析求解即可． 【解答】解：因为集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}， 所以P∪Q＝{x|﹣1＜x＜3}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了集合并集定义理解和应用，解题的关键是掌握集合并集的含义． 【训练】2、已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}． （1）若A＝B，求a的值； （2）若A∪B＝A，求a的值． 【分析】（1）可求出A＝{1，2}，根据A＝B可得出1，2∈B，从而可得出a＝3； （2）根据A∪B＝A可得出B⊆A，对于方程x2﹣ax+a﹣1＝0，可求出△＝（a﹣2）2，然后讨论△＝0和△＞0，分别求出a的值即可． 【解答】解：（1）A＝{1，2}， ∵A＝B，∴1，2∈B， ∴a＝1+2＝3； （2）∵A∪B＝A， ∴B⊆A， ∴①△＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，即a＝2时，B＝{1}，满足题意； ②△＞0时，1，2∈B，∴a＝3， 综上得，a＝2或3． 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合相等的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 【类型】二、交集的概念及简单应用 例2、(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2}　　　 B．{3} C．{－3,2}　　 D．{－2,3} (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2}　　　 B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}　　 D．{x|1≤x≤4} 解析　(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A． (2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示． 则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． 答案　(1)A　(2)A 规律方法　求集合A∩B的常见类型 (1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． (3)若A，B