专题08 一元二次方程的应用（动态几何问题）-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题08 一元二次方程的应用（动态几何问题） 类型一 三角形中的动态几何问题 1．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？ （3）的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以． 【详解】 解：（1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由得， 整理得：， 解得：或舍， 答：1秒后的面积等于 ； （2）设经过t秒后，PQ的长度等于 由， 即， 解得：t=3或-1(舍)， ∴3秒后，PQ的长度为； （3）假设经过t秒后，的面积等于， 即，， 整理得：， 由于， 则原方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 2．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【答案】（1）S△APQ＝8；（2）经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【解析】 【分析】 （1）根据点的速度是，点的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则，， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 【详解】 解：（1）∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， 当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm， ∴AP＝4cm，AQ＝4cm， ∴S△APQ4×4＝8． （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 根据题意得：S△ABC12×8＝24cm2， 当0＜t＜6 时如图1： S△APQ（12﹣2t）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12（舍去）或t＝2． 当6＜t＜8时如图2： S△APQ（2t﹣12）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14x+72＝0， △＜0，无解． 当t＞8时如图3： S△APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24， 整理得t2﹣14x+24＝0， 解得t＝12或t＝2（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 3．如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）． 发现： （1）__________； （2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长． 探究： （1）当时，的面积为_________； （2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 拓展：当时，直接写出此时的值． 【答案】发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由见解析；拓展： 【解析】 【分析】 发现：（1）在中应用勾股定理即可求解； （2）P和Q相遇时可得方程，求得t后，即可进一步AP的长； 探究：（1）求出当时PC和CQ的长，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）用t列出的面积表达式，然后和面积的一半列出方程，进行求解即可判断； 拓展：根据题意作出示意图，然后根据平行线截线段成比例列出方程，解方程即可求出t的值． 【详解】 发现：（1）在中， ∴AB=5； （2）点P运动到B需要：s 点Q运动到B点需要：s 当点相遇时，有．解得． ∴相遇点在边上， 此时． 探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2 ∴ 故答案为1； （2）不能 理由：若的面积是