专题07 解二次方程与一次函数反比例函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题07 解二次方程与一次函数反比例函数结合 类型一 解二次方程与一次函数结合 1．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC． (1)求C点坐标； (2)在第二象限内有一点，使△ABC的面积和△ABM的面积相等，求M点坐标； (3)点，在直线AB上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求P点坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1)（-2，4） (2)（-5，1） (3)存在，点P坐标为或或或 【解析】 【分析】 （1）证明AC//y轴，故点C的纵坐标为4，即可求解； （2）△ABC的面积和△ABM的面积相等，则CM//AB，进而求解； （3）分PC′=PA、PC=AC′、PA=AC′三种情况，利用边相等列出代数式即可求解． (1) 对于y=x+2，令y=x+2=0，解得x=-2，令x=0，则y=2， 故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（0，2）， 则OA=2，OB=2，则AB=， ∴∠BAO=30°，则∠ABO=60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=60°=∠ABO，BC=CA=AB=4， ∴AC∥y轴，故点C的纵坐标为4， 故点C的坐标为（-2，4）； (2) ∵△ABC的面积和△ABM的面积相等， 故CM∥AB， 设直线CM的表达式为y=x+t， 将点C的坐标为代入上式得：4=-×2+t，解得t=6， 故直线CM的表达式为y=x+6， 将点M的坐标代入上式得：1=m+6，解得m=-5， 故点M的坐标为（-5，1）； (3) 设点P的坐标为（p，p+2）， 由点A、C′、P的坐标得：PC′2=（p-2）2+（p+2）2，PA2=（p+2）2+（p+2）2，AC2=（2+2）2， 当PC′=PA时，则（p-2）2+（p+2）2=（p+2）2+（p+2）2， 解得p=1-； 当PC=AC′时，则（p-2）2+（p+2）2=（2+2）2， 解得p=3+； 当PA=AC′时，则（p+2）2+（p+2）2=（2+2）2， 解得p=3-或-3-3； 故点P的坐标为或或或． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与y轴，x轴分别交于点A、B，动点P在线段AB上移动（点P不与点A、点B重合），以点P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）求证：∠AOP＝∠BPQ； （3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若点O到直线PQ的距离是 ，请直接写出线段AP的长． 【答案】（1）A（0，2），B（2，0）；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（1，1）或；（4） 或 【解析】 【分析】 （1）分别令x=0，y=0，即可求得A、B的坐标； （2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，即可求得∠APE=45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP=∠BPQ； （3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：OP=OQ， QP=OQ； PO=PQ，即可求解； （4）如图，过点O作ON⊥PQ，交PQ于点N，过点P作PF⊥OA于点F，则 ，AM=MP，可得△PON是等腰直角三角形，由勾股定理可得，然后设 ，则 ，在中，由勾股定理可解得 ，即可求解． 【详解】 解：（1）直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于B、A两点， 令x=0，则y=0+2=2， ∴A（0，2）， 令y=0，则0=-x+2，解得：x=2， ∴B（2，0）； （2）证明：过P点作PE⊥OA交OA于点E， ∵A (0，2), B (2，0)， ∴ OA=OB=2， ∴ ∠OAB= ∠OBA= 45°， ∵PE⊥OA， ∴∠APE=45°， ∵∠OPQ＝45°， ∴∠OPE+∠BPQ=90°， ∵∠OPE+∠AOP=90°， ∴∠AOP=∠BPQ； （3）△OPQ可以是等腰三角形，理由如下： 如图，过点P作PE⊥OA于点E， 若OP=OQ，则∠OPQ=∠OQP=45°， ∴∠POQ=90°， ∴点P与点A重合， ∵点P不与点A、点B重合， ∴此种情况不成立； 若PQ=OQ，则∠OPQ=∠QOP=45°， ∴PQ⊥QO， 可设P（x，x）代入y=-x+2，解得：x=1， ∴点P坐标为（1，1）； 若PO=PQ，过P点PM⊥OA交OB于点M， 由（2）知：∠AOP=∠BPQ， 又∵∠3=∠4=45°， ∴△AOP≌△BPQ（AAS）， ∴PB=OA=2， ∵∠OB