专题06 解二次方程与特殊四边形结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题06 解二次方程与特殊四边形结合 类型一 正方形中的二次方程 1．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A．cm B．cm C．cm或cm D． cm 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】 解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G， 由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD， ∴四边形A'HCG是平行四边形， ∵∠A＝45°，∠D＝90°， ∴△A′HA是等腰直角三角形， 同理，△HCB′也是等腰直角三角形， 设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x， ∴x•（2﹣x）＝， ∴x＝（cm）． 即AA′＝（cm）． 故选：D． 【点睛】 此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键. 2．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　） A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据方程x2+x-1=0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG=m，则GC=1-m，从而可以用m表示等式． 【详解】 解：设DG=m，则GC=1-m． 由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点， ∴DG=GH=m，FC=0.5． ∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+SAGF， ∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m， ∴m=． ∵x2+x-1=0的解为：x=， ∴取正值为x=． ∴这条线段是线段DG． 故选：B． 【点睛】 此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 3．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，.若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，先证得DMEN为正方形，再根据勾股定理得出，得出，再根据正方形的性质和勾股定理即可得出答案； 【详解】 解：过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，则∠DME=90°， 在正方形ABCD中，∠ADC=∠MDC =90°，， ∴四边形DMEN为矩形， ∵∠CDE=45°， ∴∠ADE=135°， ∴∠MDE=45°， ∴∠MED=45°， ∴DM=EM， ∴矩形DMEN为正方形， 设DM=EM=DN=EN=x，则AM=x+1， 在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，AE=BD， ∴2=（x+1）2+x2， ∴或（负值舍去）， ∴， ∴， ∵正方形，∴EF=CE， 在Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2， ∴ ∴ 【点睛】 本题考查了正方形的性质和判定、二次根式的混合运算、解一元二次方程及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 4．四边形ADBC中，AC=BC，∠ACB=90°, ∠ADB=30°,AD=,CD=14, 则BD=_________ 【答案】 【解析】 【分析】 作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形．首先证明△BCN≌△ACM，得四边形CMHN是正方形，设CN＝a．构建方程求出a即可解决问题； 【详解】 解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形． ∵∠BCA＝∠MCN＝90°， ∴∠BCN＝∠MCA， ∵∠CNB＝∠M＝90°，BC＝CA， ∴△BCN≌△ACM， ∴CM＝CN，BN＝AM， ∴四边形CMHN是正方形，设CN＝a． 在Rt△AHD中，AD＝，∠ADH＝30°， ∴AH＝，DH＝， 在Rt△CND中，∵CN2＋DN2＝CD2， ∴a2＋（a＋）2＝142， 解得a＝或（舍去）， ∴AM＝BN＝， ∴BD＝BN＋NH＋DH＝， 故答案为. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定