专题04 规律探究中的二次方程-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题04 规律探究中的二次方程 1．【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写： a 1 2 3 4 5 … 8 … S 1 3 6 … … 【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ． 【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：；应用拓展：，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时 【解析】 【分析】 问题提出：根据前4个图形归纳类推出一般规律，再填表即可； 变式探究：观察图形可知，第1-3个图形的小圆圈总数依次为，再结合问题提出中的结论，归纳类推出一般规律即可得； 应用拓展：观察图形可知，经过1-4轮分裂后细胞总数依次为，再结合变式探究中的结论，归纳类推出一般规律，然后根据“细胞总数达到1261个”建立方程，解方程即可得出结论． 【详解】 解：问题提出：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为， 第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为， 第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为， 第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为， 则当时，， 当时，， 将表格填写如下： 1 2 3 4 5 … 8 … 1 3 6 10 15 … 36 … 变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为， 第2个图形的小圆圈的总数为， 第3个图形的小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为， 故答案为：； 应用拓展：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为， 经过2轮分裂后细胞总数为， 经过3轮分裂后细胞总数为， 经过4轮分裂后细胞总数为， 归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为， 假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 所以假设成立， 所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时． 【点睛】 本题考查了图形的规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 2．数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题： 如图1李舒摆成的图形： 如图2林涵摆成的图形： （1）填写下表： 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 林涵所用棋子数 1 4 9 （2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由； （3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由． （4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 26 林涵所用棋子数 1 4 9 16 ；（2）李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；（3）林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；（4）两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同． 【解析】 【分析】 （1）根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示，即可填写表格； （2）令（1）所总结的两个代数式分别等于76，解出结果是整数的即为恰好含有76个棋子的图形； （3）令（1）所总结的两个代数式分别等于120，解出结果更小的，就说明那个同学所摆的图形含有棋子个数先超过120个； （4）令（1）所总结的两个代数式相等，即列出关于n的一元二次方程，解出n即可． 【详解】 （1）根据李舒所用棋子数： 第1图形：， 第2图形：， 第3图形：， ∴第4图形的棋子数为：， … 第n图形的棋子数为：； 林涵所用棋子数： 第1图形：， 第2图形：， 第3图形：， ∴第4图形的棋子数为：， … 第n图形的棋子数为：． 故可填表为： 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 26 林涵所用棋子数 1 4 9 16 （2）， 解得：， ∴李舒所摆图形的