专题03 根的定义与韦达定理结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题03 根的定义与韦达定理结合 类型一 确定两个字母是某方程的俩根 1．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，则a+b+2ab的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D． 2．若实数，且满足，则代数式的值为(          ) A． B． C． D． 3．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求的值． 4．若实数a、b满足a2—7a+2=0和b2—7b+2=0,则式子的值是____. 5．若实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，则代数式a2﹣6a﹣b的值为_____． 类型二 变形后确定两个字母是某方程的俩根 6．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 7．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 8．设实数、分别满足，，且，求的值． 9．已知实数满足，，求的值． 10．已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 类型三 综合解答 11．阅读材料： 材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值． 解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值： （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值． 12．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？ 13．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值． 14．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝　 　，α•β＝　 　；若2，3是方程x2+mx+n＝0的两根，则m＝　 　，n＝　 　； （2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值； （3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 根的定义与韦达定理结合 类型一 确定两个字母是某方程的俩根 1．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，则a+b+2ab的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析：根据题意可把a、b看作方程x2﹣x﹣1=0的两根，则利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，然后利用整体代入的方法计算a+b+2ab的值． 解：∵a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0， ∴a、b可看作方程x2﹣x﹣1=0的两根， ∴a+b=1，ab=﹣1， ∴a+b+2ab=1+2×（﹣1）=﹣1． 故选A． 考点：根与系数的关系． 2．若实数，且满足，则代数式的值为(          ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由于实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则a，b可看着方程x2-8x+5=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=8，ab=5，然后把通分后变形得到 ，再利用整体代入的方法计算． 【详解】 ∵a，b满足 ∴a，b可看着方程 的两根， ∴a+b=8，ab=5， 故选:A. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟记两根之和与两根之积是解题的关键. 二、填空题(共0分) 3．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求的值． 【答案】7． 【解析】 【详解】 试题解析：∵a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b， ∴a、