专题02 二次方程中的参数探究-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题02 二次方程中的参数探究 类型一 仅利用韦达定理求参数 1．关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________． 【答案】2 【解析】 【分析】 设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1•x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可． 【详解】 设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2， 则x1+x2=k，x1•x2=-2k． ∵原方程两实数根的平方和为12， ∴， ∴，即． 解得：，． ∵方程有两实数根， ∴，即， ∴或． ∴舍去． 综上． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键． 2．关于的方程两个实根满足，则的值为_______． 【答案】5或. 【解析】 【分析】 先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到，，结合，通过变形求值，即可求出m的值. 【详解】 解：在方程中，有 ， ∴原方程有两个不相等的实数根； 根据根与系数的关系，有： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 故答案为：5或. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题. 3．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值； （3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0 【解析】 【分析】 （1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论； （2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值； （3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解． 【详解】 解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0， 解得：x=-1； 当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0， ∴方程有实数根， 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴，，且k≠﹣1， ∵x2为整数，k为正整数， ∴k=1或k=3； （3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1， ∴|x1-x2|=， 解得：k=-3或k=0， 经检验k=﹣3或k=0是原方程的解， 故k的值为﹣3或0． 【点睛】 本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键． 4．已知关于ｘ的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或 【解析】 【分析】 （1）直接利用根的判别式计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可． 【详解】 解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根， △，即 解得． 答：的求值范围为． （2）根据根与系数的关系： ，， ，满足， ①当时， 把代入，得 解得， ， ． ②当时， 解得，， ． 答：的值为或 【点睛】 本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记求根公式以及根的判别式是解此题的关键． 5．已知实数使关于的反比例函数的图象在第二、四象限，且使关于的方程有实数解，若是整数，则所有满足条件的的值的和为（       ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据反比例函数图象所在象限和方程有实数根，确定m的取值范围，再取整数相加即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴m-3<0， 解得，m<3， 关于的方程有实数解， 当方程是一元一次方程时，m=2，有实数根； 当方程是一元二次方程时，， 解得m≥， ≠0，m≠2， 综上，m可取整数值有：-2，-1，0，1，2， 它们的和为0， 故选：C． 【点睛】 本题考查了反