专题01 一元二次方程有整数根-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题01 一元二次方程有整数根 类型一 根号里取完全平方数求解 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则： （1）字母k的取值范围为____________； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，那么k的值为____________． 【答案】          2 【解析】 【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】 解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0， 解得：k＜， 故答案为：k＜； （2）由k为正整数，得到k=1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x=-1±， ∵方程的解为整数， ∴5-2k为完全平方数， 则k的值为2， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键． 2．已知关于的一元二次方程 ⑴说明该方程根的情况． ⑵若（为整数），且方程有两个整数根，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）12 【解析】 【分析】 （1）先计算判别式的值得到△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8），化简后得到△＝8m＋4，再根据8m＋4的正负性即可判断方程根的情况； （2）由于4＜m＜24且m为整数，则根据求根公式得到2m＋1为完全平方数时，方程可能有整数根，则2m＋1＝16或25或36，再根据m为整数可求得m＝12时，方程有两个整数根． 【详解】 （1）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8， ∴△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8） ＝8m＋4， 当8m＋4＞0时，m＞，此时方程有两个不相等的实数根， 当8m＋4＝0时，m＝，此时方程有两个相等的实数根， 当8m＋4＜0时，m＜，此时方程没有实数根； （2）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，△＝8m＋4， ∴ ∵方程有两个整数根， ∴2m＋1为完全平方数 ∵4＜m＜24， ∴9＜2m＋1＜49， ∴2m＋1＝16或25或36， ∴m＝7.5或12或17.5， 又∵m为整数， ∴m＝12． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 类型二 根中含参数分类讨论求解 3．已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值. 【答案】（1）当m≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根；（2）可取的正整数m的值分别为1. 【解析】 【分析】 （1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=[-（m+3）]2-4×m×3=（m-3）2＞0，从而可得到m的范围； （2）利用求根公式解方程得到x1=1，x2=，利用此方程的两根均为正整数得到m=1或m=3，然后利用（1）的范围可确定m的值． 【详解】 解:(1)由题意得：m≠0且>0， ∴当m≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根. (2)∵此方程的两根均为正整数,即， 解方程得，. ∴可取的正整数m的值分别为1. 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．已知：关于的一元二次方程 (m为实数). (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根； (3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值. 【答案】(1)且；(2)证明见解析；(3)或. 【解析】 【分析】 (1)由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； (2)利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证； (3)由(2)可知方程有一个根为1，另一个根为，根据方程的根为正整数，分情况讨论即可求出m的值. 【详解】 (1)， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； (2)由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ； (3)∵为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴必为整数， ∴或， 当时 ，(不合题意，舍去)； 当时，； 当时，； 当时，， ∴或. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键. 类型三 根据参数范围分类讨论求解 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有