第09讲 弧长及扇形的面积-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第09讲 弧长及扇形的面积 【学习目标】 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题. 【基础知识】 一．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 二．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【考点剖析】 一．弧长的计算（共7小题） 1．（2021秋•招远市期末）如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　） A．90° B．2π C．3π D．4π 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB． ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝8， ∴的长是：4π． 故选：D． 【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式． 2．（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（　　）cm． A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+12 【分析】先求出OC，再根据弧长公式计算 和的长，加上2AC即为贴纸部分的周长． 【解答】解：∵OA的长为12cm，贴纸部分的宽AC为6cm， ∴OC＝OA﹣AC＝6cm， 又OA和OB的夹角为120°， ∴4π， 8π， ∴贴纸部分的周长为4π+8π+2×6＝12π+12． 故选：D． 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 3．（2022•瑞安市校级开学）已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为 　2π　． 【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：扇形的弧长2π， 故答案为：2π． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l是解题的关键． 4．（2022春•奈曼旗期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为 　π　． 【分析】先求出圆心角∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算弧长即可． 【解答】解：由题知，∠OCA＝55°，AB＝6， ∴∠BOC＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA＝110°， ∴π， 故答案为：π． 【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 5．（2022春•二道区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD的长为（　　） A．2π B．3π C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， ∴弧BD的长为π， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键． 6．（2022•铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为 　45°　． 【分析】根据l，结合题意可得出扇形圆心角的度数． 【解答】解：∵扇形的弧长是，半径为2， ∴， 解得：n＝45． 故答案为：45°． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键． 7．（2021秋•东城区校级月考）如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D． （1）弦AB的长为 　10cm　． （2）求劣弧的长． 【分析】（1）先利用垂径定理得出AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论； （2）先利用锐角三角函数求出∠BOD＝60°，最后利用扇